第九章 方差分析.
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1、第九章第九章 方差分析方差分析李金德李金德第一节第一节 方差分析的基本原理和步骤方差分析的基本原理和步骤n思考：思考：n1.如果想要分析如果想要分析A总体和总体和B总体平均数的差异，可以总体平均数的差异，可以用什么方法来检验？用什么方法来检验？n2.如果想要分析如果想要分析A、B、C三个总体平均数的差异，又三个总体平均数的差异，又该用什么方法来证明？该用什么方法来证明？n如果是两个总体，用如果是两个总体，用Z和和t检验。检验。n那是不是三个总体那是不是三个总体A、B、C的比较就是拿的比较就是拿A和和B做比做比较，然后那较，然后那A与与C做比较，然后再拿做比较，然后再拿B和和C做比较？做比较？一
2、、方差分析的基本原理：综合的一、方差分析的基本原理：综合的F检验检验n方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查方差分析主要处理两个以上的平均数之间的差异检查问题，需要检验的虚无假设就是问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对任何一对平均数平均数”之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本所属之间是否有显著性差异，因此虚无假设为，样本所属的所有总体的平均数都相等。的所有总体的平均数都相等。n一般把这个假设称为一般把这个假设称为“综合虚无假设综合虚无假设“,表达式为：表达式为：n方差分析最关键的步骤就是变异的分解。方差分析最关键的步骤就是变异的分解。3210:H看一个例子看一个例子9-1：不同
3、噪音强度下解数学题犯错频次：不同噪音强度下解数学题犯错频次噪音（分贝）噪音（分贝）K=3强（强（100（A)中（中（50）（）（B） 无（无（C）1641n=41452125210631352jX67. 6tX图图9-1 数据变异示意图数据变异示意图强噪音组强噪音组 中噪音组中噪音组 无噪音组无噪音组 13jX5jX2jX67. 6tX（一）数据变异文字层面上的分解（一）数据变异文字层面上的分解n从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同一组被试内部也存在着不同。一组被试内部也存在着不同。n1.前者称前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。组间
4、变异，因听了不同的噪音而不同。n2.后者称后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。n3.而每个数据之间的差异叫做而每个数据之间的差异叫做总变异。总变异。n可以知道：总变异可以知道：总变异=组间变异组间变异+组内变异组内变异n一般而言一般而言:n1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作用才会令各组之间的数值存在差异。用才会令各组之间的数值存在差异。它越大越好！它越大越好！n2.组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，借助它分析实验是否成功。组内变异其实
5、是实验的误借助它分析实验是否成功。组内变异其实是实验的误差。差。它越小越好！它越小越好！n3.问题来了：问题来了：组间差异多大，组内差异多小才好？组间差异多大，组内差异多小才好？（二）数据变异的数学层面的分解（二）数据变异的数学层面的分解n1.数学上如何表示变异？数学上如何表示变异？n总变异的数学意义是每一原始分数（总变异的数学意义是每一原始分数（ ）与总平均数）与总平均数（ ）的离差，记为：）的离差，记为：n组间变异的数学意义是每一组的平均数（组间变异的数学意义是每一组的平均数（ ）与总平）与总平均数的离差，记为：均数的离差，记为：n组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组组内变异的数
6、学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（平均数（ ）的离差，记为：）的离差，记为：tXijXjXjXjijXXtjXX)(tijXXn2. 先看某一个数据的情况先看某一个数据的情况 n分析可知，分析可知，任一个数据（任一个数据（ ）与总平均数的差异等）与总平均数的差异等于他与本组平均数（于他与本组平均数（ ）之差加上小组平均数与总）之差加上小组平均数与总平均数（平均数（ ）的差。即）的差。即：n例如：例如：jXtXtjjijtijXXXXXX）（）（代入公式7.66-1313-107.66-10,67.6,13,1041tjXXXijXn3.再看总变异的分解及计算再看总变异的分解及计算n根据
7、变异的可加性，任何一个原始分数都有：根据变异的可加性，任何一个原始分数都有：n对容量为对容量为n的某一小组而言，则有：的某一小组而言，则有：n为了使平方和不为为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有：，须做代数的处理，即有：tjjijtijXXXXXXnitjjijnitijXXXXXX112121nitjjijnitijXXXXXXn对公式做整理对公式做整理n利用平均数离差和等于零，上式可以简化为利用平均数离差和等于零，上式可以简化为n对于对于K组数据，把开组相加，可得：组数据，把开组相加，可得： 2121nitjjijnitijXXXXXX21221tjnijijnitijXXnXXXX
8、kjtjkjnijijkjnitijXXnXXXX12112121nSS表示平方和，表示平方和，SST表示总平方和，指实验产生的表示总平方和，指实验产生的总变异；总变异；SSB表示组间平方和，指不同实验处理造成表示组间平方和，指不同实验处理造成的变异；的变异；SSW表示组内平方和，指实验误差（个体表示组内平方和，指实验误差（个体差异）造成的误差。差异）造成的误差。WBTkjtjBkjnijijWkjnitijTSSSSSSXXnSSXXSSXXSS 则令令12112121;n在在SST一定的情况下，一定的情况下，SSB所占比例越大，则所占比例越大，则SSW的的值就越小，值就越小，相应的相应的S
9、SB与与SSW的比值就会越大，的比值就会越大，如果如果足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和足够大到某个临界值的话我们就可以认为总平方和SST的变异主要是来自的变异主要是来自SSB，即组间变异。，即组间变异。n如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同如果变异主要来自组间，则可以认为实验条件的不同确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析确实造成了被试错误的频次的不同。这就是方差分析的基本原理。的基本原理。n4.如何检验比值的差异（如何检验比值的差异（F）n方差分析中组内方差和组间方差分别可以表示为：方差分析中组内方差和组间方差分别可以表示为：n MSB=SSB/dfBn MSw
10、=SSw/dfwn其中：其中：dfB为组间自由度为组间自由度=k-1n dfw为组内自由度为组内自由度=k(N-1)n dfT=dfB+dfwn因为主要关心因为主要关心MSB是否显著大于是否显著大于MSW，当当MSB小于小于MSW时，无需检验。因此总是将组间方差放在分子位时，无需检验。因此总是将组间方差放在分子位置，进行置，进行单侧检验单侧检验，即：，即：n F= MSB / MSWnF1, 且落入到临界区域，说明组间方差够大了。且落入到临界区域，说明组间方差够大了。二、方差分析的基本过程与步骤二、方差分析的基本过程与步骤n（一）求平方和（一）求平方和n（二）计算自由度（二）计算自由度n（三）
11、计算均方（方差）（三）计算均方（方差）n（四）计算（四）计算F值值n（五）查（五）查F表进行表进行F检验并做决断检验并做决断n（六）列方差分析表（六）列方差分析表以表以表9-1为例为例n（一）求平方和（一）求平方和n总平方和：总平方和：n组间平方和：组间平方和：n组内平方和：组内平方和：nkXXXXSSkjnitijT22121 nkXnXXXnSSkjtjB2212 nXXSSSSXXSSBTkjnijijW22112表格表格9-1的计算的计算噪音噪音k=3强强中中无无XX2XX2XX21625641611n=41419652524121445252410100636395269620102
