平面几何中的一些重要定理及其.

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1、编号编号 学学士士学学位位论论文文平面几何中的一些重要定理及其平面几何中的一些重要定理及其应用应用学生姓名： 如先古力阿布拉 学 号： 20040101053 系 部： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2004-（3）班 指导教师： 阿吉木优勒达希 完成日期： 2009 年 5 月 10 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS2 摘要摘要在初等几何中有很多著名的定理，在本论文中主要介绍了其中的梅涅劳斯定理，德萨格定理，锡瓦定理，斯特瓦尔特定理，托勒密定理，西姆松定理等一些著名而重要的定理并且通过实例说明了上述定理在平面几何中的一些比较复杂的问

2、题上具体应用。关键词：关键词：共线点；重心；截线；共点线；垂心。 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS3目录目录摘要摘要.2目录目录.3引言引言.41.1.梅涅劳斯（梅涅劳斯（MENELAUSMENELAUS）定理）定理.42.2.德萨格（德萨格（DESARGUESDESARGUES）定理）定理.63.3.锡瓦（锡瓦（CEVACEVA）定理）定理.94.4.斯特瓦尔特（斯特瓦尔特（STEWAVTSTEWAVT）定理）定理.115.5.托勒密（托勒密（PTOLEMYPTOLEMY）定理）定理.126.6.西姆松（西姆松（SIMSONSIMSON）定理）定理.14

3、总结总结.16参考奉献参考奉献.17致谢致谢.18 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS4XBYCZA引言引言几何学是一门非常古老的数学科学，它以现实世界的空间形式作为主要研究对象。几何学起源于土地测量。人们在几千年的历史过程中对几何学进行了繁复而深入的研究得到了很多的结果，并且现已把几何学发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支。人们在研究过程中从少量的公里出发，经过演绎推理在理论和实际方面得到了不少结论，把这些结论通过了逻辑证明后成为定理,平面几何中有不少定理，其中有一些很著名的定理。这些定理不仅在初等几何，而且在高等几何，解析几何射影几何中的应用范围特别

4、广。在这些定理的基础下我们可以推出很完美的数学思想方法。这些定理的证明方法及其引申出的结论体现了数学的完美，使人感到学几何是一种享受，使人开阔眼界，活跃思想。下面我介绍一些著名的定理和它们在实际问题中的具体应用：1.1.梅涅劳斯（梅涅劳斯（MenelausMenelaus）定理）定理梅涅劳斯（Menelaus,约公元 100 年）定理是亚历山大后期的数学家和天文学家，著有“球面论”及几何学，三角学书籍，初等几何中用于证明三点共线的“梅涅劳斯定理”便是首先发现的，后来他又把这定理推广到球面几何。定理：定理：一条直线截的三条边(或其延长线)所得交点分别为ABC,AB AC BC,则., ,X Y

5、Z1AXBZ CYXB ZCYA证明：证明：如图，注意以为底的三角形面积，可得XZ (1) AXZBXZAXSXBS (2) BXZCXZBZSZCS (3)CXZAXZSCYYAS(1) (2) (2)得。1AXBZ CYXB ZCYA说明说明：此定理是证明点共线的有力工具，它有多种证法，例如可利用线段的 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS5X(X)BYCZA比证之，上面采用的三角形面积法是其中之一。逆定理：逆定理：在的三条边(或其延长线)上分别取点，ABC,AB AC BC, ,X Y Z使，则在同一直线上。1AXBZ CYXB ZCYA, ,X Y Z

6、 证明：证明：延长与相较于点，则由梅涅劳斯定理.ZYABX1AXBZ CYX B ZCYA由题义,1AXBZ CYXB ZCYA且，都在上AXAXX BXBXXAB这说明点与分别内分线段所得两XXAB线段的比相等。故与重合，即在同一直线上。XX, ,X Y Z例例 1 1：设是的边的中线，任作一条直线分别交与ADABCBC,AB AD AC,求证：成等差数列。,P Q R,PB QD RCPA QA RA 证明证明: :若,则，故成公差为零的等差/ /PRBCPBQDRCPAQARA,PB QD RCPA QA RA数列。若与不平行，则与有交点，PRBCPRBC设交点为，如图，则在和中分SAB

7、DADC别运用梅涅劳斯定理，可得,1BSDQ APSD QAPB1DS CR AQSCRA QD于是有， 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS6,PBQDBSPAQASDRCQDSCRAQASD , 而为的中点，所以.PBRCQD BCSCPARAQASDDBC2BSSCSD从而 ，即成等差数列。2PBRCQDPARAQA,PB QD RCPA QA RA例例 2 2 ：如图，和与的三边所在的三条直线都相切，为ABC,E F G H切点，并且的延长线交于点.求证：直线与垂直.,EG FHPPABC证明证明：延长交于点直线 与的三边延长线都相交，直PABCDPH

8、FABD线与的三边延长线都相交，由梅涅劳斯定理，有PGEADC, 1AHBFDPBHDFAP1DP AG CEAP CG DE于是，AHBFAG CEBHDFCG DE， ,BHBF CECG所以.AHAGDFDE连接,111222,OG O E O A O A O H O F则为一条直线，且12O AO.又相似于12,OGGC O HBH1O AG，则, 于是,故即直线与2O AH12O AAGDEO AAHDF1/ /ADO EADEFPA垂直。BC2.2.德萨格（德萨格（DesarguesDesargues）定理）定理德萨格（Desargues，1593-1662）法国数学家，射影几何的

9、创始人。 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS7定理：定理：如两个三角形的对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线。分析：分析：和中，对应顶点的连线交于同一点，ABCA B C ,AA BB CCS三对对应边与，与，与(所在直线)的交点是ABA B BCB C CAC A .我们证明三点共线即可。, ,D E F, ,D E F证明证明：直线与的三边所在直线分别交于.由A B D SAB,SA AB BS,A D B梅涅劳斯定理,1SAAD BBA A DB B S同理可得直线分别于,A C F B C E ,SCA交于和，SBC,C F A, ,B E C所以

10、，1SCCFAAC CFA A S1SBBE CCB B EC C S把上面三式的两边分别相乘得,即的三边1AD BE CFDB ECFAABC所在直线上的点满足上式，由梅涅劳斯定理知在同一,AB BC CA, ,D E F, ,D E F直线上。 德萨格逆定理：德萨格逆定理：设两个三角形和彼此对应，使得对应边ABCA B C （所在直线）与的交点 L， ，BCB C 与的交点 M，与的交点CAC A ABA B N 共线，则对应顶点的连线必共点或互相平行。,AA BB CC 证明证明: : 设为与的交点，OAACC我们证明也通过点。BBO 在与中，由于对应顶LCCNAA点的连线共点于 M，根

11、据定理本身，下列三点，即与的交点，,LN CA C A LCNAB 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS8与的交点，与的交点必共线。即是说应通过和CCAAOLCNABBBAA的交点。CCO若则与必不相交，否则根据刚才的证明，应通过他们/ /AACCAABBCC的交点了，与的假设矛盾，所以这时互相平行。/ /AACC,AA BB CC 说明：说明：德萨格定理和它的逆定理在射影几何中占重要地位。此定理的重要意义不仅在于从它可以推出一系列射影几何命题，还在于它是平面射影几何的基础之一。此地证明时利用了综合法，也可以用线性代数证明。因此，要构作平面射影几何公里体系，往