方差分析与试验设计

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1、5.1 单因素方差分析单因素方差分析5.2 两因素方差分析两因素方差分析5.3 正交试验设计正交试验设计5.1 单因素方差分析单因素方差分析 例例1 1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差 。现用现用三种不同来源的材料三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。各试生产了一批电子管。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。2试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？材料

2、批号材料批号寿命测定值（单位：小时）寿命测定值（单位：小时）1231600 1610 1650 1680 1700 1700 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 18201.1.引例引例例例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。果如下表所示。品种品种产量（斤产量（斤/小区）小区）32.3 34.0 34.3 35.0 36.5 33.3 33.0 36.3 36.8

3、34.530.8 34.3 35.3 32.3 35.81A2A3A4A 29.3 26.0 29.8 28.0 29.8试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？类似问题类似问题 高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实行选课制行选课制, 如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？ 假定：张老师的学生平均假定：张老师的学生平均72.5, 李老师的学生平李老师的学生平均成绩均成绩71.8, 王老师的学生平均成绩王老师的学生平均成绩70.9,能否说明三能否说明三位老师的教学

4、水平有差异位老师的教学水平有差异?根据假设检验的原理，即检验根据假设检验的原理，即检验123 ？解决此类问题：解决此类问题：1是重复检验，是重复检验，2是方差分析是方差分析 在实践中在实践中, 影响一个事物的因素往往是很多的影响一个事物的因素往往是很多的, 人们总是要通过试验人们总是要通过试验, 观察各种因素的影响观察各种因素的影响. 例如例如:不不同型号的机器同型号的机器, 不同的原材料、不同的技术人员以不同的原材料、不同的技术人员以及不同的操作方法等等及不同的操作方法等等, 对产品的产量、性能都会对产品的产量、性能都会有影响有影响. 当然当然, 有的因素影响大有的因素影响大, 有的因素影响

5、小有的因素影响小, 有有的因素可以控制的因素可以控制, 有的因素不能控制有的因素不能控制. 如果从多种可如果从多种可控制因素中找出主要因素控制因素中找出主要因素, 通过对主要因素的控制、通过对主要因素的控制、调整调整,提高产品的产量、性能，这是人们所希望的提高产品的产量、性能，这是人们所希望的, 解决这解决这个问题的有效方法之一就是个问题的有效方法之一就是方差分析方差分析. 前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标, 他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平他们受因素的影响，因素的不同状态称为水平, 一一个因素可采取多个水平个因素可采取多个水平. 统计学

6、上统计学上, 不同的因素不同的因素, 不不同的水平同的水平可以看作是不同的总体可以看作是不同的总体. 通过观察可以得通过观察可以得到试验指标的数据到试验指标的数据, 这些数据可以看成从不同的总这些数据可以看成从不同的总体中得到的样本数值体中得到的样本数值.二、统计分析二、统计分析一一 、总平方和的分解、总平方和的分解单因素试验的方差分析设在试验中，因素设在试验中，因素A有有r个不同水平个不同水平12,rA AA在水平在水平Ai下的试验结果下的试验结果2(,)(1,2, )iiXNir 。其中其中 和和 是未知参数。在水平是未知参数。在水平 下作下作 次独立实验，次独立实验，其结果如表其结果如表

7、5.1所示。所示。i2iAin 数学模型数学模型111121nXXX221222 nXXX331323nXXX1rXrrnX样本均值样本均值 2rX1XrX2X水平水平1A2ArA3A 样样 本本 3X11,1,2, .iniijjiXXirn 表表 5.1012:rH112:,rH 不全相等(1)由于由于 相互独立，且相互独立，且ijX2(,)ijiXN 1,2,;1,2, .ijn ir若记若记则则ijijiX2(0,),ijN且相互独立且相互独立 要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设判断各正态总

8、体的均值是否相等，即检验假设(1,2,;1,2, )ijn ir2(0,) 1,2,1,2,ijiijijijiXNjnjr相互独立其中(2)其中其中 与与 均为未知参数。均为未知参数。式（式（2）称为）称为单因素方差分析的数学模型单因素方差分析的数学模型。i2则则是各水平下总体均值的加权平均，称为是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值总平均值； 代表了第代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，水平下的总体均值与平均值的差异，这个差异称为这个差异称为 的效应的效应，iiA10riiin(4)由式由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的可以得到单因素方差分析的等价数学模型等价数学模型它满

9、足它满足11riiiiinn(3)再令再令1riinn式式(5)表明：样本由表明：样本由总平均值总平均值 因素的因素的水平效应水平效应i 随机误差随机误差ij三部分叠加而成。三部分叠加而成。因而式因而式(5)也称为也称为线性可加模型线性可加模型。(5)21,1,2, ;1,2,(0,)0.ijiijirijiiiXir jnNn 且且相相互互立立, ,方差分析的任务：方差分析的任务：检验线性统计模型检验线性统计模型 (1.1) 中的中的 r个总体个总体2(,)iN i 中中的的各各 的的相相等等性性，即即有有0121:1.2 ,rijHHi j （）至至少少有有一一对对0121:=01.2 :

10、0riHHi （）至至少少 ii 等等价价假假设设：检验此假设的问题就是检验此假设的问题就是方差分析方差分析. iA记记在在水水平平下下的的样样本本看看作作一一组组，记记组组内内平平均均为为11iniijjiXXn 111111, inrrijiiijiriiXXn Xnnnn 其其中中样本总平均样本总平均A1(X1)A2(X2)A3A4(X4)1XX2X4X 41X 414XX 4XX 总离差平方和为总离差平方和为211() inrTijijQXX 全部数据与总平均之间的全部数据与总平均之间的差异差异, ,又叫总变差又叫总变差211()()inrijiiijXXXX 分分解解221111()

11、()iinnrrijiiijijXXXX 11 2()()inrijiiijXXXX 下面证明交叉项为下面证明交叉项为0 0，因为，因为111111()()()()()()0iiinrijiiijnriijiijnriijiiijXXXXXXXXXXXn X1110iiniijijnijiijXXnXn X 总离差平方和分解为总离差平方和分解为EQAQ （组内离差）（组内离差）（组间离差）（组间离差）EAQQ221111()()iinnrrijiiijijXXXX 211() inrTijijQXX 211()inrEijiijQXX 组组内内离离差差 反映反映Ai 水平下的子样均值与样本值之