第8讲[1].抽屉原理(二).教师版

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1、第八讲：抽屉原理（二）一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下，把n1或多于n1个苹果放到n个抽屉里，

2、其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个

3、球的颜色完全一样你能说明这是为什么吗？【解析】 从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面种：红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，我们把种搭配方式当作个“抽屉”，把个小朋友当作个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【解析】 设不同的类型书为、四种，若学生只借一本书，则不同的类型有、四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、C

4、D六种共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【解析】 以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮共9种情况，即有9个抽屉，则：，即至少有8名同学所拿球的种类是一样的【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少

5、要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【解析】 根据题意列下表：小汽车小火车小飞机第一个小朋友第二个小朋友第三个小朋友第四个小朋友有个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同所以至少要有个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的总结： 本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解学生们可能会这么认为：铺垫：件种件，件个人，要保证有相同的所以至少要有人；对于例题中的题目同样件种件，件个人，要保证有相同的所以至少要有人因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于种东西任选两种的选择有几种可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议

6、还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复【例 2】 红、蓝两种颜色将一个方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【解析】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同【例 3】 从、这个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有个数的和是？ 【解析】 构造抽屉：，共种搭配，即个抽屉，所以任意取出个数

7、，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为，所以应取出个数或者从小数入手考虑，、，当再取时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【解析】 将10个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6个必有两个奇数在同一组中，这两个数的和为20.【巩固】 从1，4，7，10，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.【解析】 构造和为的抽屉：，现在取个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、30这

8、15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34【解析】 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，,，,凡是抽屉中的有两个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34 现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34【例 4】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，1994这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14

9、，15，16，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994每一组中取前9个数，共取出（个）数，这些数中任两个的差都不等于9因此，最多可以取999个数方法二：构造公差为的个数列（除以的余数），共计个数，共计个数，共计个数，共计个数，共计个数，共计个数，共计个数，共计个数，共计个数每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取个数【巩固】

10、 从1、2、3、4、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12【解析】 在这20个自然数中，差是12的有以下8对：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外还有4个不能配对的数9，10，11，12，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）【巩固】 （小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，1988，1989这些

11、自然数中，最多可以取_个数，其中每两个数的差不等于4【解析】 将11989排成四个数列：1，5，9，1985，19892，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项因此，第一个数列只能取出一半，因为有项，所以最多取出249项，例如1，9，17，1985同样，后三个数列每个最多可取249项因而最多取出个数，其中每两个的差不等于4【例 5】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从、和中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍【解析】 把这12个数分成6个组