统计软件应用课程设计

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1、Monte Carlo 在线性回归中的简单应用班级：1324001姓名：徐萍萍学号：201320400118指导老师：闫霏霏电话号码：2016年4月17日摘要：本文针对确定运动员的耗氧量与其他一些因素的关系数据，在SAS中进行回归分析得到对数据拟合较好的线性模型。再用Monte Carlo随机过程产生残差项并代入线性方程中，分别假定残差项不符合均值为零、正态分布、异方差三大假设，从而检验回归理论。关键字：蒙特卡罗、多元线性回归、残差项基本假设问题重述：在运动生理学的研究中，为了确定运动员的耗氧量与其他一些因素的关系，在一个实验中对31个人测量了年龄（age），体重（weight），跑完1.5英

2、里用的时间（runtime），静态时的心率（rstpulse）,跑动时的心率（runpulse）,跑步时的最大心率（maxpulse）,每公斤体重每分钟的耗氧量（oxy）。实测数据（oxy.txt）见下表，试以oxy为因变量，估计该变量对于问题中所有其他变量的直线回归方程。并用Monte Carlo验证回归理论中残差项三大基本假设。(数据在附录中)第1章 、基本理论一、蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo）方法概述 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解

3、的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。蒙特卡罗方法的基本原理 由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2

4、，xk)。 首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，xk值，计算功能函数值 Zi=g(x1，x2，xk)(i=1，2，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi0，则当N时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。蒙特卡罗方法的收敛性设所求的量是随机变量的数学期望E(x)，那么Monte Carlo方法通常使用随机变量的简单子样的算术平均值，即 作为所求量X的近似值。由柯尔莫哥罗夫（Kolmogorov）大数定理可知，即当N充分大时，有成立的概率等于1，亦即可以用作为所求量X的估计值。根据中心极限定理，如果随机变量的标准差不为零，那么Monte Ca

5、rlo方法的误差为式中，为正态差，是与置信水平有关的常量。Monte Carlo方法的收敛速度的阶为，误差是由随机变量的标准差S和抽样次数N决定的。二、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y与一般变量的线性回归模型为： 记为式中，是P+1个未知参数，称为回归常数，称为回归系数。y称为被解释变量（因变量），是P个可以精确测量并控制的一般变量，称为解释变量（自变量）。P=1时，式即一元线性回归模型；P2时，我们就称式为多元线性回归模型。是随机误差，与一元线性回归一样，对随机误差我们常规定：称 为理论回归方程。 对一个实际问题，如果我们获得n组观测数据，则线性回归模型式可表示为：写

6、成矩阵形式为： 记位式，式中 X是一个阶矩阵，称为回归设计矩阵或资料矩阵。在实验设计中X的元素是预先设定并可以控制的，人的主观因素可作用其中，因而称X为设计矩阵。多元线性回归模型的基本假定 回归方程式有如下基本假定：解释变量x1,x2,xp是确定性变量，不是随机变量，且要求rank(X)=p+1n.这里的rank(X)=p+1n，表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关，样本量的个数应大于解释变量的个数，X是一满秩矩阵。随机误差项具有零均值和等方差，即 这个假定常称为高斯-马尔柯夫条件。，即假设观测值没有系统误差，随机误差项的平均值为零。随机误差项的协方差为零，表明随机误差项在不同的样本点之间是不

7、相关的（在正态假定下即为独立的），不存在序列相关，并且有相同的精度。正态分布的假设条件为：对于多元线性回归的矩阵模型式，这个条件可表示为：第二章、模型建立一、SAS中线性回归过程 这里在SAS软件中，对问题中数据（oxy.txt）做多元线性回归，运行程序如下：I：libname ep e:saslx;run; data ep.oxys; infile e:sasdtoxy.txt;input age weight oxy runtime rstpulse runpulse maxpulse ;proc reg;model oxy= age weight runtime rstpulse run

8、pulse maxpulse;run;II：proc stepwise data=ep.oxys;*逐步回归法;model oxy=runtime age weight runpulse maxpulse rstpulse;run;quit; 首先用程序I做回归分析，得输出结果。从输出结果(图一）中可知： 方差分析中F=22.43，P0.0001回归方程显著。但应注意所检验的统计假设是六个自变量的系数都为零。若拒绝该假设则表示至少有一个系数不为零，即至少有一个自变量对因变量oxy的影响是有意义的。所以，此时不能说所有自变量对oxy的影响都有统计意义。 决定系数R-square=0.8487，表

9、示所得回归防城对数据的线性拟合很好。它的平方根为因变量oxy与6个自变量的复相关系数。 Parameter Estimates部分是检验常数项或自变量系数等于零的假设。由检验结果可知，当显著水平为0.05，体重weight(p=0.1869)和休息时的心率rstpulse(p=0.7473)这两个变量应删除。一般来说，某个自变量是否对因变量有统计意义，不仅决定于这个变量本身，还跟回归方程中同时存在的其他自变量有关。若把对因变量无统计意义的自变量留在回归方程，会增大参数估计或误差，因此这些变量应剔除。 由以上分析可知，应采用逐步回归法STEPWISE过程，即采用II中程序。在逐步回归过程的结果表

10、中，可以看到引进变量的顺序、每一步引进的变量对R-square的贡献和总的R-square的变化，C（P）值的变化及引进每个变量时的检验概率。其中C（P）值最小的最后那个模型为最适合的回归模型。最后得估计每公斤体重每分钟耗氧量（oxy）的线性方程为：y=0.27051x1-0.34811x2-2.76758x3-0.19773x4+98.14789其中x1、x2、x3、x4依次代表maxpulse、runpulse、runtime、age,体重weight和休息时的心率rstpulse被剔除。图一二、蒙特卡罗方法回归检验 由Monte Carlo思想，由正态随机数产生误差项e代入线性方程中，方