第5章 大数定律和中心极限定理

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1、第第5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理 下页下页5.1 大数定律大数定律1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2. 依概率收敛依概率收敛 本章本章上页上页下页下页3. 大数定律大数定律5.1 大数定律大数定律设随机变量的期望和方差分别为设随机变量的期望和方差分别为E(X)和和D(X), 则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数, 有下列不等式成立有下列不等式成立:或或 1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 2()(|()|)D XPXE X2()(|()|)1.D XPXE X 本节本节上页上

2、页下页下页例例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是白细胞数平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解：解：设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300, D(X)=7002 所求为所求为 P(5200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100) 2)2100()(1XD = P |X-E(X)

3、| 2100 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100 2)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之间的之间的概率不小于概率不小于8/9 . 例例2(略略) 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率发生的概率为为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多大需要多大时，才能使得在时，才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中, 事件事件A出出现的频率在现的频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次

4、数，E(X)=0.75n, 的最小的的最小的n .900760740.).(nXP则则 Xb(n, 0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.750.25n=0.1875n =P(-0.01nX-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nXD = P |X-E(X)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751 P(0.74n X0.76n )76. 074. 0(nXP可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则0.01 = P |X-E(X)| 1050.348 1051105VPVP2012105201051387. 01 348. 0txn