泛函分析第七章 习题解答1-25

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1、第七章 习题解答1设（X，d）为一度量空间，令 问的闭包是否等于？ 解 不一定。例如离散空间（X，d）。=，而=X。 因此当X多于两点时，的闭包不等于。2. 设 是区间上无限次可微函数的全体，定义 证明按成度量空间。证明 （1）若=0，则=0，即f=g（2） =d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3 设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。证明 令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是 开集 显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。4. 设d（x，y）为空间X上的距离，证明是X上的距离。证明 （1）若则，必有x=y （2）因而在上是单增函数，

2、于是=。5. 证明点列按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在a，b上一致收敛于f的各阶导数。证明 若按习题2中距离收敛与，即 >0 因此对每个r，>0 ，这样>0 ，即在 a，b 上一致收敛于。 反之，若的（t）各阶导数在a，b上一致收敛于f（t），则任意，存在，使；存在，使当时，max ，取N=max ，当n>N时，即>0 。6. 设，证明度量空间中的集f|当tB时f（t）=0为中的闭集，而集A=f|当tB时，|f（t）|a（a0）为开集的充要条件是B为闭集。证明 记E=f|当tB时f（t）=0。设，按中度量收敛于f，即在a，b上一致收敛于f（t）。设，则

3、，所以f E，这就证明了E为闭集 充分性。当B是闭集时，设f A。因f在B上连续而B是有界闭集，必有，使。设 。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以，这样就证明了A是开集 必要性。设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意若，必有。倘若，则定义。于是对任意，因此由于A是开集，必有，当Ca，b且时，。定义，n=1，2。则因此当时，。但是，此与的必要条件：对 任意，有矛盾 因此必有。7. 设E及F是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F。证明 设。令 则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾。8. 设 Ba，b表示a，b上实有界函数全体

4、，对Ba，b中任意两元素f，g Ba，b，规定距离为。证明Ba，b不是可分空间。证明 对任意a，b，定义则Ba，b，且若， 。 倘若Ba，b是不可分的，则有可数稠密子集，对任意a，b，必有某，即。由于a，b上的点的全体是不可数集。这样必有某，使，于是此与矛盾，因此Ba，b不是可分空间。9. 设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集O，使得，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明 若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。设是X的可数稠密子集，于是在中必有某，且。事实上，若，则所以。这样我们就证明了对任意，存在k，n使且存在 任取覆盖的O，记为是X的

5、可数覆盖。10. X为距离空间，A为X中子集，令证明是X上连续函数。证明 若对任意，存在，使。取。则当时，因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是X上连续函数。11. 设 X为距离空间，是X中不相交的闭集，证明存在开集使得。证明 若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。 倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明 了。12 . 设 X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是X到Z中的连续映射。证明 设 G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映射，故是X中 的开集。这样

6、是X中 的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。13. X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集。证明 设 f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是 是开集。这样= 是闭集。同理是闭集。 反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设G是直线上的开集，则或，其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是X中的柯西点列。对1>0，存在N，使当n，m时，令则对任意有。因此 是有界点列。15. 证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 （1）