第5章 模糊映射与模糊变换

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1、第第5章章 模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 一、模糊关系的投影与截影一、模糊关系的投影与截影二、模糊映射与模糊变换二、模糊映射与模糊变换三、扩张原理三、扩张原理四、模糊数四、模糊数5.1 模糊关系的投影与截影模糊关系的投影与截影 是指是指U的一个的一个定义定义5-1 设设R(UV),F模糊子集，记为模糊子集，记为它具有隶属函数它具有隶属函数R UR ,v V UR (u)R(u,v)是指是指V的一个模糊子集，记为的一个模糊子集，记为它具有隶属函数它具有隶属函数R VR ,u U VR (v)R(u,v)当当U、V有限时，有限时， UR , VR都可由模糊向量表示都可由模糊向量表示例例5-

2、1 设设0 30 40 50 70 30 20 60 80 80 60 90.R.1v2v3v4v1u2u3u则则0 7 0 8 0 90 8 0 6 0 9 0 8TUVR( . , . , . ) ,R( . , . , . , . )定义定义5-2 设设R(UV),F对任意的对任意的uU,R是指是指V的一个模糊子集，记作的一个模糊子集，记作uR ,其隶属其隶属函数为函数为uR (v)R(u,v),R是是U的一个模的一个模糊子集，记作糊子集，记作vR ,其隶属函数为其隶属函数为vR (u)R(u,v)R(u,v) URuRUV 投影、截影的几何意义投影、截影的几何意义当当U，V都是有限集时

3、，都是有限集时，R的截影也可用模糊向量的截影也可用模糊向量表示它们就是表示它们就是R的某一行或某一列的某一行或某一列0 30 40 50 70 30 20 60 80 80 60 90.R.1v2v3v4v1u2u3u例例5-2 设设则则130 3 0 3 0 80 8 0 6 0 9 0TvuR( . , . , . ) ,R( . , . , . , )5.2 模糊映射与模糊变换模糊映射与模糊变换 定义定义5-3 设设U，V为非空集合，若存在一个法则为非空集合，若存在一个法则f,对对U中任意元素中任意元素u，都有，都有V中唯一确定的模糊子集中唯一确定的模糊子集B与与之对应，则之对应，则f称

4、为从称为从U到到V的的f :U(V) Fuf(u)B，记为，记为例例5-3 设设U为某校全体教师的集合，为某校全体教师的集合，V为体检项目的为体检项目的集合集合f为体检。每个教师的体检结果是为体检。每个教师的体检结果是V上的一个模上的一个模糊子集，因此糊子集，因此f为从为从U到到V上的一个模糊映射上的一个模糊映射5.2.1 模糊映射模糊映射定理定理5-1 若给定模糊映射若给定模糊映射f :U(V), F则唯一确定则唯一确定一个模糊关系一个模糊关系R(UV),F使对任意的使对任意的uU,都有都有uRf(u);反之，若给定模糊关系反之，若给定模糊关系R(UV),F则则唯一确定一个模糊映射唯一确定一

5、个模糊映射f :U(V), F使对任意的使对任意的uU,都有都有uf(u)R证明：证明：分别定义分别定义R(u,v)(f(u)(v),(f(u)(v)R(u,v)则可得前后两部分结果则可得前后两部分结果例例5-41212nmUu ,u ,u,Vv ,v ,v,设设若给定若给定模糊映射模糊映射f :U(V), F1iiiimuf(u )(a ,a)则得则得唯一模糊关系唯一模糊关系1112112mnnnmaaaRaaa且对任意的且对任意的iuU,有有1iuiimiR(a ,a)f(u ),反之，反之，若给定模糊关系若给定模糊关系ij n mR(r )(UV),F则有唯一映射则有唯一映射f :U(V

6、), F1iiiimuf(u )(r ,r ),可见可见1iiiimuf(u )(r ,r )R5.2.2 模糊变换模糊变换定义定义5-4 设有非空集合设有非空集合U，V，若存在一个法则，若存在一个法则T,对对U中任何一个模糊子集中任何一个模糊子集A,都有都有V中唯一确定模糊子中唯一确定模糊子集集B与之对应，则与之对应，则T称为从称为从U到到V的的，记作，记作T:(U)(V)FF模糊变换与模糊关系有如下联系：模糊变换与模糊关系有如下联系：定理定理5-2 任给模糊关系任给模糊关系R(UV),F都有唯一确定都有唯一确定的的U到到V的模糊变换的模糊变换T,使得对任意的使得对任意的A(U),F均有均有

7、T(A)A R(V)F其隶属函数为其隶属函数为u UT(A)(v)(A(u)R(u,v) T称为称为R该定理说明模糊概念在不同论域中的表现之间的该定理说明模糊概念在不同论域中的表现之间的转换关系，即若有一个概念转换关系，即若有一个概念,在在U中表现为中表现为 模糊集模糊集A,则则在在V中的表现为模糊集中的表现为模糊集BA R(V)F例例5-5设设是是“男少年男少年”， 在体重论域在体重论域U= 40，50，60，70，80（单位：（单位：kg）表现为表现为 A=（0.8，0.9，0.6，0.2，0），设某地区），设某地区身高与体重的模糊关系为身高与体重的模糊关系为10 80 20 100 81

8、0 80 20 10 20 810 80 20 10 20 810 800 10 20 81.R.40506070801.4 1.5 1.6 1.7 1.8则则“男少年男少年” 在身高论在身高论域域V= 1.4，1.5，1.6，1.7，1.8（单位：（单位：m）表现为表现为0 8 0 9 0 8 0 6 0 2BA R( . , . , . , . , . )5.3 扩张原理扩张原理 5.3.1 扩张原理扩张原理 I设设f:UV,由由f可诱导出两个映射可诱导出两个映射F:(U)(V),AF(A)(V)FFF其隶属函数为其隶属函数为0f(u) v A(u),vf(U)F(A)(v),vf(U)和

9、和11F:(V)(U),BF (B)(U)FFF其隶属函数为其隶属函数为 1F (B) uB(f(u)F(A)称为称为A在在f下的下的，1F (B)称为称为B在在f 下的下的例例5-61514Uu ,u,Vv ,v,设设且且14533412v ,uu ,uf (u)v ,uuv ,uu ,u又设又设U上的模糊集上的模糊集0 1 0 8 0 4 0 3 1A . , . , . , . , ,由扩张原理由扩张原理I110 311f(u) vF(A)(v )A(u). 20F(A)(v ) 330 4f(u) vF(A)(v )A(u).440 10 80 8f(u) vF(A)(v )A(u).

10、于是于是1 0 0 4 0 8BF(A) , , . , . ,又又11140 8F (B)(u )B(f(u )B(v ).12240 8F (B)(u )B(f(u )B(v ).13330 4F (B)(u )B(f(u )B(v ).14411F (B)(u )B(f(u )B(v )15511F (B)(u )B(f(u )B(v )故故10 8 0 8 0 4 11F (B) . , . , . , , 14533412v ,uu ,uf (u)v ,uuv ,uu ,uF1F与与性质性质11( )F(A)A.fF (B)B若若 为为满满射射，且且，则则112( )ABF(A)F(

11、BCD,F (C)F (D若若，则则) )，若若则则) )113t T t T t T t T tttt( )F(A )F AF (B )F (B ( () )，) )114t T t T t T t T tttt( )F(A )F AF (B )F (B ( () )，) )115cc( )F (B)F (BF(A)F(A )c cc c) ), ,若若f f为为满满射射，则则 16( )F (F(A)A, ,( (f f单单射射取取等等号号）1F(F (B)B,(f,(f满满射射取取等等号号）证：仅证最后两式证：仅证最后两式 11 f uf uF (F(A) uF(A) f uA uA u