向量与三角形四心(教师版)

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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心(2)若O是的重心，则（3）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心(4) O是ABC所在平面内一点则O是ABC的垂心证明：由，得，所以

2、。同理可证。容易得到由以上结论知O为ABC的垂心。(5) 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC的垂心（6） 若H是ABC(非直角三角形)的垂心，则SBHC：SAHC：SAHB=tanA：tanB：tanC 故tanA·+tanB·+tanC·=（7）若点O为ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为ABC的外心。证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。故点O为ABC的外心。（8）两点分别是的边上的中点,且（9）若O是ABC的外心，则SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A

3、83;+sin2B·+sin2C·=（10）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（11）设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 （12）O是ABC的内心充要条件是 （13）若O是ABC的内心，则SBOC：SAOC：SAOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=; （14）设为ABC所在平面内任意一点，I为ABC的内心， * 内心I（，）证明：由是的内心。(其中是三边)（见内心

4、的充要条件的证明）, I（，）.（15）为的外心。与三角形“四心”相关的向量结论 随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 结论： 设点在内部，若，则证明： 已知点在内部，且 设：，则点为DEF的重心， 又， 说明: 此结论说明当点在内部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点