第4章线性代数问题求解

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1、第四章 线性代数问题求解 矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量4.1 矩阵4.1.1特殊矩阵的输入 数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B) 随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵： A=rand(n,m) 生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵： A=ra

2、nd(n)对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： Vdiag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k) 例：diag( )函数的不同调用格式 C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵V = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V) % 将列向量通过转置变换成行向量V1 = 1 2 3 C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线以上第 k条对角线为C的矩阵V = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0生成三对角矩阵: V

3、=diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V = 1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n) 求取逆Hilbert矩阵： B=invhilb(n)Hankel(汉克 ) 矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。 H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为一的多向式。

4、符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A)例： A=hilb(3)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 B=sym(A)B = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/54.1.2 矩阵基本概念与性质 行列式 格式 ：d=det(A)例：求行列式 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A)ans = 0 例： tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans =

5、1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000elapsed_time = 2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。 矩阵的迹 格式： t=trace(A) 矩阵的秩格式：r=

6、rank(A) 用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。 例 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A)ans = 3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。 例 H=hilb(20); rank(H) 数值方法ans = 13 H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans = 20 矩阵范数 矩阵的范数定义：格式： N=norm(A) 求解默认的2范数 N=norm(

7、A，选项) 选项可为1,2,inf等 例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13; norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf)ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf)ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供

8、norm( )函数，需先用double( )函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。 特征多项式格式： C=poly(A)例： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; poly(A) 直接求取ans =1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003 -2.819840539024018e-012 A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱 ans = x4-34*x3-80*x2+272

9、0*x 矩阵多项式的求解 符号多项式与数值多项式的转换格式： f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f) 例： P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v) % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f)P = 1 2 3 4 5 6 矩阵的逆矩阵格式： C=inv(A)例： format long; H=hilb(4); H1=inv(H)H1 = 1.0e+003 * 0.01600000000000 -0.1199

10、9999999999 0.23999999999998 -0.13999999999999 -0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.67999999999984 0.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961 -0.13999999999999 1.67999999999984 -4.19999999999961 2.79999999999974检验： H*H1ans = 1.00000000000001 0.000000000000

11、23 -0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.00000000000011计算误差范数： norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans = 6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4); norm(H*H2-