第2章 地图的数学基础

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1、地形图投影及其分幅与编号地形图投影及其分幅与编号一、地球的形状与大小一、地球的形状与大小1、地球的自然表面地球的自然表面 2、地球的物理表面、地球的物理表面水准面水准面 铅垂线铅垂线重重力力引引力力铅垂线是测量工作的基准线铅垂线是测量工作的基准线。水准面水准面：水准面水准面地球自然表面地球自然表面 大地水准面大地水准面 : :是由静止海水面向大陆延伸所形是由静止海水面向大陆延伸所形 成的不规则的封闭曲面。成的不规则的封闭曲面。a = 6378.137kma = 6378.137km； b =6356.752kmb =6356.752km； 例：北京某地的地理坐标为东经例：北京某地的地理坐标为东

2、经11628， 北纬北纬3954； 长沙地处东经长沙地处东经11257，北纬，北纬2812。2 2、大地坐标系、大地坐标系 大地坐标系是以椭球面为参考面，以法大地坐标系是以椭球面为参考面，以法线为参考线，用大地经纬度表示地面点在椭线为参考线，用大地经纬度表示地面点在椭球面上位置的空间坐标系。球面上位置的空间坐标系。 大地经度（大地经度（L L ）: :是通过地面点大地子午是通过地面点大地子午面与起始大地子午面间的夹角，是个线面角；面与起始大地子午面间的夹角，是个线面角； 大地纬度（大地纬度（B B ）: :是通过该点地面法线与是通过该点地面法线与赤道面的夹角，也是线面角；赤道面的夹角，也是线面

3、角； 大地高（大地高（H H ）: :是地面点沿法线到椭球面是地面点沿法线到椭球面的垂直距离。的垂直距离。 陕西陕西泾阳县永乐镇泾阳县永乐镇 石际寺村石际寺村 343227.00N1085525.00E。 3、我、我 国的大地坐标系统国的大地坐标系统三、平面直角坐标系三、平面直角坐标系(独立坐标系独立坐标系) OYXOYX m(x、y)四、高斯平面直角坐标系四、高斯平面直角坐标系地图投影：地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。投影。x = f1(j , l ) y = f2(j , l

4、) 高斯投影高斯投影中央子午线中央子午线P赤道赤道QPQ m 高斯投影的高斯投影的特点特点：位于中央子午线上的点无变形，其余各点位于中央子午线上的点无变形，其余各点均有变形均有变形; ;中央子午线两侧的变形是对称的中央子午线两侧的变形是对称的; ;离中央子午线越远变形越大离中央子午线越远变形越大. .六度分带六度分带三度分带三度分带1、绝对高程：、绝对高程：P HA 大地水准面大地水准面A五、高程与五、高程与 高程基准高程基准2、相对高程：、相对高程：P”P H A H A ”A任意水准面任意水准面3、高差：、高差：a,b,H BH APPPabhABA大地水准面大地水准面水准面水准面BHA

5、HB 高差与高程的起算面无关高差与高程的起算面无关。4、高程基准、高程基准1）、）、1956 黄海高程系与黄海高程系与1985 国家高程基准国家高程基准 （1）1956年黄海高程系年黄海高程系 （2）1985年国家高程基准年国家高程基准 2）、水准原点）、水准原点 旧水准原点高程旧水准原点高程72.289m 新水准原点高程新水准原点高程72.260m地图投影及其变形地图投影及其变形地图投影的分类地图投影的分类地图投影的选择地图投影的选择地图投影的判别地图投影的判别一、一、地图投影及其变形地图投影及其变形、 按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网

6、转换到平面上，使地面点位的地理坐标到平面上，使地面点位的地理坐标 （、） 与地图上相与地图上相对应点位的平面直角坐标（对应点位的平面直角坐标（x,y）间，建立起一一对应的）间，建立起一一对应的函数关系：函数关系： x = f1(j j , l l ) y = f2(j j , l l )地图投影的实质地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。学法则转移到平面上。 即球面转换成平面后地即球面转换成平面后地图上所产生的长度、角图上所产生的长度、角度和面积误差。度和面积误差。 2）、地球仪上经纬网的）、地球仪上经纬网的特征特征（

7、1）、长度特征）、长度特征 纬线长度不等纬线长度不等,赤道最长赤道最长,纬度越高长度越短纬度越高长度越短, 到极点为到极点为0; 同一条纬线上同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等经差相同的纬线弧长相等; 所有经线长度相等所有经线长度相等; 同一条经线上同一条经线上,纬差相同的经线弧长相差不大纬差相同的经线弧长相差不大.（2）、角度）、角度 经线与纬线处处都呈直角经线与纬线处处都呈直角.（3）、面积）、面积 同一纬度带内同一纬度带内,经差相同的球面梯形面积相等经差相同的球面梯形面积相等; 同一经度带内同一经度带内,纬度越高球面梯形面积越小纬度越高球面梯形面积越小.2、 投影变形的描述投影变形的描

8、述 1）、变形分布表）、变形分布表 高斯高斯-克吕格投影克吕格投影6带内长度变形表带内长度变形表 2）、等变形线）、等变形线 等差分纬线多圆锥投影的角度等变形线等差分纬线多圆锥投影的角度等变形线 XmX为经线长度比；为纬线长度比YnY 该方程证明: 地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆。代入： X2 + Y2 = 1，得，得XmXYnY22221XYmn长轴方向长轴方向（极大值）（极大值）a短轴方向短轴方向（极小值）（极小值）b经线经线方向方向 m ；纬线方向；纬线方向 n统称统称 主方向主方向m2 + n2 = a2 + b2mnsinq q = ab变形椭圆表示投影变形的分布变形椭圆表示

9、投影变形的分布 d dss1V= 0 不变 0 变大 0 变大 1任意投影 中国地图出版社1963年设计，其经线间隔随距中央经线距离的增大而呈等差递减，属任意投影。多圆锥投影的应用多圆锥投影的应用 中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。最大特点最大特点: : 不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线等角航线在图上表现为直线在图上表现为直线。这一特性对航海具有重要的。这一特性对航海具有重要的实用价值实用价值。经纬线形状经纬线形状:经纬线是互相垂经纬线是互相垂直的平行直线直的平行直线;经线间隔相等经线间隔相等

10、,纬线间隔由赤道向两极逐渐纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大扩大.变形特点变形特点:角度无变形角度无变形;赤道为没有变形的线赤道为没有变形的线;随纬度增高面积变形随纬度增高面积变形增大增大.等角航线等角航线：是地球表面上与经：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经线和纬线以外地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐的等角航线，都是以极点为渐近点的螺旋曲线。近点的螺旋曲线。 大圆航线大圆航线：地球面上两点间：地球面上两点间最短距离最短距离是通过两点间的大是通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。圆弧，也称为大圆航线。等角航线 在图上表现为直线。这一特

11、性对航海具有很重要的意义。地球面上两点间最短距离是通过两点间的大圆弧，也 称为大圆航线 桑逊（Sanson）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影常用的投影方案：投影变形特点：P = 1 无面积变形n = 1 纬线长度比为1m0 = 1 中央经线长度比=1m 1 经线长度比 1投影特点： P = 1 无面积变形;中央经线和中央经线和404411.8 的交点为没有变形的的交点为没有变形的点点,离这两点距离越远变形越离这两点距离越远变形越大大,向高纬比向低纬增大的速向高纬比向低纬增大的速度快度快; S90 = Searth / 2;赤道长度= 中央经线 2.S90 = S