自控原理(第四章)

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1、第四章线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法Introduction Thebasicconceptoftheroot-locus Thegeneralrulesforconstructingroot-locusEmphases Systemanalysisbyusingroot-locusmethod4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 主要内容：主要内容： 根轨迹概念根轨迹概念 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 根轨迹方程根轨迹方程 根轨迹法根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法是分析和设计线性定

2、常控制系统的图解方法，使用十分简便，特别在进行多回路系统的分析时，应用根轨迹法比用其它方法更为方便，因此在工程实践中获得了在工程实践中获得了广泛应用广泛应用。 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程根轨迹方程，然后将向量形式的根轨迹方程转化为常用的相角条件相角条件和模值条件模值条件形式，最后应用这些条件绘制简单系统的根轨迹。1. 根轨迹概念根轨迹概念 根轨迹根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无它是开环系统某一参数从零变到无穷时，穷时，闭环系统特征方程式的根闭环系统特征方程式的根在在 s 平面平面上变化的轨迹。

3、上变化的轨迹。 当闭环系统没有零点与极点相消时，闭环特征方程式闭环特征方程式的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为的根就是闭环传递函数的极点，我们常简称为闭环极点闭环极点。 因此，从已知的从已知的开环零、极点位置开环零、极点位置及及某一变化的参数某一变化的参数来求取来求取闭环极点闭环极点的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的分布，实际上就是解决闭环特征方程式的求根问题。的求根问题。 当特征方程的阶数高于四阶时，求根过程是比较复杂的。如果要研究系统参数变化对闭环特征方程式根的影响，就需要进行大量的反复计算，同时还不能直观看出影响趋势。因此对于高阶系统的求根问题来说，解析法就显得很不方便。 19

4、48年，W. R伊文思在“控制系统的图解分析”一文中提出了根轨迹法根轨迹法。当开环增益或其它参数改变时，其全当开环增益或其它参数改变时，其全部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。部数值对应的闭环极点均可在根轨迹图上简便地确定。因为系统的稳定性由系统闭环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态性能又与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关，所以根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明开环零、极点应该怎样变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求。 除此而外，用根轨迹法求解高阶代数方程的根，比用其它近似求根法简便。 下面具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图4-1所示，

5、其闭环传递函数为：KssKsRsCs222)()()(20222Kss于是特征方程式可写为：显然特征方程式的根是： 如果令开环增益 K 从零变到无穷，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在 s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图中，粗实线就是系统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着 K 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相对应的开环增益 的数值。KsKs211211212.2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能。下面以图4-2为例进行说明：（1）稳定性）稳定性 当开环增益从零变到无穷时，图4-2上的根轨

6、迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因此图因此图4-1系统对所有的系统对所有的 值都是值都是稳定的，稳定的，这与我们在第3-4节所得出的结论完全相同。如果分析高阶系统的根轨迹图， 那么根轨迹有可能越过虚轴进入 s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的 值，就是值，就是临界临界开环增益开环增益。（2）稳态性能）稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属 I 型系统，因而根轨迹上的 K 值就是静态误差系数。如如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹可以确定闭环极点果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹可以确定闭环极点位置的容许范围。位置的容许范围。在一般情况下，根

7、轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓的根轨迹增益根轨迹增益。下面将要指出，开环增益和根开环增益和根轨迹之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算。轨迹之间，仅相差一个比例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情况是类似的。（3）动态性能）动态性能 由图4-2可见，当 00.5 时，所有闭环极点都位于实轴上，系统为过阻尼系统（系统为过阻尼系统（ 1），单位阶跃响应为非周期过程；当=0.5，闭环两个实数极点重合，系统为临系统为临界阻尼系统（界阻尼系统（ =1），单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较 00.5 情况为快；当 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统（欠阻

8、尼系统（0 n的情况。当K* =0时，必有mn条根轨迹的起点在无穷远处。因为当s 时，有： 如果把无穷远处的极点看成无限极点，于是我们同样可以说，根轨迹必起于开环极点。图4-4是表示根轨迹的起点和终点的图形。nmspszsKmnsniimjjs,limlim111* 法则法则22 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数、对称性和连续性。根轨迹的根轨迹的分支数与开环分支数与开环有限零点数有限零点数m 和有限极点数和有限极点数n 中的大者相等，中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。它们是连续的并且对称于实轴。 证明证明 按定义，根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环特征方程式的根在

9、 s 平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的数目相一致根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的数目相一致。由特征方程(4-11)可见，闭环特征方程根的数目就等于m 和 n 中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。 由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益 K* 的函数，所以当K*从零到无穷大连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程式根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 根轨迹必对称于实轴的原因是显然的，因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，而根轨迹是根的集合，因此根轨迹对称于实轴。 根据对称性

10、，只需做出根据对称性，只需做出上半上半s 平面的根轨迹部分，然平面的根轨迹部分，然后利对称关系就可以画出下半后利对称关系就可以画出下半s 平面的根轨迹平面的根轨迹部分。部分。 法则法则33 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线。当开环有限极点数 n 大于有限零点数 m 时，有nm 条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为 的一组渐近线趋向无穷远处，且有： aa1,2,1,0,;) 12(mnkmnkamnzpnimjjia11（4-12） 式中 ，当 s 值很大时，式（4-12）可近似为： 证明证明 渐近线就是 s 值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式形式，得：nnnn

11、mmmmniimjjasasasbsbsbsKpszsKsHsG 111111*11*)()()()(mjjzb11niipa11111*)()()(mnmnsbasKsHsG（将（将（4-124-12）式分子、分母多项式同时除以分子多项式可得此结果。）式分子、分母多项式同时除以分子多项式可得此结果。）由 得渐进线方程： 1)()(sHsG（4-13） 或者根据二项式定理 在s值很大时，近似有：（4-14）*11)1 (KsbasmnmnmnKsbas1*111)()1 ( 21111111)(11(1! 21)(1)1 (sbamnmnsmnbasbamnsmnbasbamn)(1)1 (1