第一章离散时间信号与系统

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1、离散时间信号与系统离散时间信号与系统Discrete Time Signals and Systems本章主要内容TopicsTopicsn离散时间信号离散时间信号n采样采样n离散信号的傅氏变换与离散信号的傅氏变换与Z变换变换n离散时间系统离散时间系统n系统的频率响应与系统函数系统的频率响应与系统函数1.1 离散时间信号(1)单位脉冲序列0, 00, 1)(nnn单位脉冲序列functionf,k=impseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);Impseq(0,-5,5)(2)单位阶跃序列0, 00, 1)(nnnu单位阶跃序列functionf,

2、k=stepseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);stepseq(0,-5,5)(3)矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n(4)实指数序列)()(nuanxnfunctionf,k=expseq(a);k=0:10;f=a.k;stem(k,f);指数序列expseq(0.9）(5)正弦序列x(n) = sin（n0）functionf,k=sinseq(a);k=0:39;f=sin(a.*k);stem(k,f);正弦序列sinseq(pi/6);(6)复指数序列0()00( )(cossin)jnnx nAe

3、Aenjn 当当0时时x(n)的实部和虚部的实部和虚部分别是余弦和正弦序列分别是余弦和正弦序列。 x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).序列的运算1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(绝对可和序列xBnx)(有界序列 序列的运算序列的运算序列的运算序列的运算5、实序列的偶部和奇部)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo6、序列的单位脉冲序列表示)()()(mnmxnxm1.2 采样

4、对信号进行时间上的离散化，这是对信号作对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。数字化处理的第一个环节。研究内容：研究内容：n信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）n信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）信号、如何不失真地还原信号）n由离散信号恢复连续信号的条件由离散信号恢复连续信号的条件1.采样过程 采样的这些性质对离散信号和系统的分采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。样过程。 采样器一般

5、由电子开关组成，开关每隔采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。现一次采样。 连续时间信号的采样采样器)(txa)(txpP(t)TTfs1T为采样周期，为采样周期，fs为采样频率为采样频率如开关每次闭合如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复秒，则采样器的输出是一串重复周期为周期为T，宽度为，宽度为的脉冲，的脉冲，(如图如图)脉冲的幅度是这段脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度时间内信号的幅度(如图如图)，这一采样过程可看作是一，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串

6、周期为T、宽度为、宽度为的的矩形脉冲矩形脉冲，以，以P(t)表示表示,调制信号是输入的连续信号调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为则采样输出为 一般一般很小很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。入信号在离散时间点上的瞬时值。)()()(tptxtxap采样过程2. 理想采样 开关闭合时间开关闭合时间0时，为理想采样。时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬

7、间的幅度。确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。即：即：理想采样理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，表示这个冲激载波，用M(t)表示nnTttM)()(则有则有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()(1.61.71.8理想采样 实际情况下，实际情况下，0 0达不到，但达不到，但T(35) (35) maxmax。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤

8、波器（抗混叠滤波），阻止高于性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于 S S/2/2频率分量进入。频率分量进入。3-5倍倍4采样的恢复（恢复模拟信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率最高频率谱不超过折迭频率则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有有202)()(ssaajXjXmsaajmjXTjX)(1)()(1)(jXTjXaa S/2 将采样信号将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率 S/2，

9、特性如图特性如图)(txa202)(ssTjGG(j)g(t)G(j) T xa(t) y(t)=xa(t) 0 S/2 采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： )()(jGjXjYa)(jXa)( jXjYa由于在由于在| | |=0部分）进行变换部分）进行变换的的z变换，其定义为变换，其定义为单边单边z变换只在少数情况下与双边变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边变换看成是双边z变变换的一种特例，即因果序列情况下的双边换的一种特例，即因果序列

10、情况下的双边z变换。变换。0)()(nnznxzX三、 z变换的收敛域 一般，序列的一般，序列的Z变换变换 并不一定对任何并不一定对任何z值值都收敛，都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面平面的收敛域应满足的收敛域应满足 因为对于实数序列，因为对于实数序列， nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()(因此，因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为个范围一般表示为 Rx-

11、|z|Rx+ 这就是这就是收敛域收敛域，一个以，一个以Rx-和和Rx+为半径的两个圆所围为半径的两个圆所围成的环形区域，成的环形区域，Rx-和和Rx+称为称为收敛半径收敛半径，Rx-和和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为为Rx-等于等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。圆。1.22 z变换的收敛域变换的收敛域 jImzRx+Rx-Rez0例例1.求求x1(n)=anu(n)和和x2(n)=-anu(-n-1)的的z变换变换解：解：azazzazXazazzazXnnnnnn11210111