第十章杆件系统的有限元法2
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1、 平面刚架问题的有限元法平面刚架问题的有限元法 - -定义定义 定义定义梁梁：两端刚性连接的杆件两端刚性连接的杆件固定连接、固定连接、 拉压、弯曲、扭转拉压、弯曲、扭转 与截面大小、形状、与截面大小、形状、方位有关方位有关刚架刚架：梁单元组成的系统梁单元组成的系统平面刚架平面刚架：所有杆轴线处于同一平面的系统：所有杆轴线处于同一平面的系统有限元分析有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）：利用）：利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可行模拟。利用简单而又相互
2、作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。一一 结构离散结构离散 梁单元离散，各杆有局部坐标系，方向为杆的轴梁单元离散，各杆有局部坐标系，方向为杆的轴线方向。结构的刚度方程是在统一的坐标系（总体线方向。结构的刚度方程是在统一的坐标系（总体坐标系）中建立并求解，因此需将单元局部坐标各坐标系）中建立并求解，因此需将单元局部坐标各量转换到总体坐标系中。量转换到总体坐标系中。 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节的交点为节点。相邻两节
3、点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。点编号时力求单元两端点号差最小。 二二 单元分析单元分析1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元ijxyijxy 1 2 3 4lF1F2F3F4l（1）局部坐标下单元位移和单元力）局部坐标下单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjiiTevv4321（2-24）其中，其中， vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。角位移。 单元力单元力 TjjiiTeMQMQFFFFF4321（2-26）其中，其中， Q剪力剪力 M弯矩弯矩3322dxvdEIQdxvdEIM（2-27）dxdv（2）位移函数和形函数
4、）位移函数和形函数342321)(xaxaxaaxv（2-28） 形函数形函数 由单元两端点的节点位移条件，解出式（由单元两端点的节点位移条件，解出式（2-28）中的）中的a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：。再代入该式，可将位移模式写为以下形式： ijxy 1 2 3 4l 梁单元内一点有梁单元内一点有2个位移：个位移： v、 因为，因为， =dv/dx；仅一个位移仅一个位移是独立的，取是独立的，取 v 。 位移模式位移模式 设单元坐标位移模式为设单元坐标位移模式为eNxv)(（2-29）式中式中4321NNNNN （2-30）232433232322233231/
5、 )(/ )23(/ )2(/ )23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（2-31）（3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 b与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为： 22dxvdb将式（将式（2-29）代入）代入 ，得单元弯曲应变和单，得单元弯曲应变和单元位移之间关系元位移之间关系（2-34） )26()612()46()612(13lxllxlxllxlB4321BBBBB ebB（2-33）（4）应力矩阵）应力矩阵eNxv)( eebbSBEE（2-35）DB22dxvdb(5)
6、 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为将式（将式（2-34）代入上式进行积分，并注意到）代入上式进行积分，并注意到Iz梁截面对梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩轴（主轴）的惯性矩得单元坐标单元刚度矩阵得单元坐标单元刚度矩阵ke:AzdAyI2（2-37） dAdxBByEdvBDBkAlTvTe02 单元刚度矩阵式单元刚度矩阵式 (2-38) 适合于适合于连续梁连续梁分析。分析。lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIkzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223
7、223223223（2-38）整体坐标与局部坐标方向一致。 (6) 等效节点力等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理。用点取为结点，按结构的节点载荷处理。 这里考虑把单元上的集中力、横向分布载荷转化为等价节点这里考虑把单元上的集中力、横向分布载荷转化为等价节点力问题。力问题。a 集中力集中力 FNRTlf 将形函数矩阵将形函数矩阵N代入上式，积分可得分布荷载的等效结点代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。表力。表1给出了几种特殊情况的等价节点力。给出了几种特殊情况的等价节点力。荷载
