利用递推模型对埃博拉疫情的预测
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1、利用递推模型对埃博拉疫情的预测摘要2014年，西非爆发埃博拉疫情，导致逾3000人死亡，确诊感染病例6500人，全世界处于高度紧张的疫情防治状态。因其极强的传染性、潜伏周期短、死亡率高等特征，截至目前，埃博拉病毒仍是人类未能攻克的难题，治疗措施也仅限于辅助性治疗，治标不治本。为此，希望通过数学建模模拟埃博拉病毒的传播方式，预测疫情发展趋势，从而得到有效的控制措施，降低对人类的伤害。本文根据题目所设的“虚拟种群”建立病毒传播模型，预测未来疫情的发展情况，理性认识埃博拉病毒的危害，并在第41周专家介入和引入特效药后，重新修正模型，通过对比，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药
2、物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。在建立猩猩种群的病毒传播模型时，创造性地由猩猩发病数、自愈数和死亡数抽象出感染率、自愈率和死亡率，但因不知其和周数的关系，所以用参数估计法估计表达式。假设感染率、自愈率和死亡率是关于的函数，计算出每周的相应数值，用SPSS绘制散点图并进行方差分析，最终结果显示感染率、自愈率和死亡率均为常数。病毒的传播与猩猩发病个体数有必然联系，所以用猩猩发病个体数描述病毒的传播，设表示第周周末猩猩发病个体数，建立发病总个体数随时间变化的递推模型，拟合出分段递推模型表示式，应用递推方法计算第80周、第120周、第200周的病毒传播情况，对埃博拉疫情的发展进行合理
3、预测。对于人和猩猩种群相互感染模型的建立，弄清感染方式是必须的。结合传染病在人和猩猩之间的传播特点和题设条件，明确人与猩猩相互作用的传染方式，该方式为种群内部可相互传染，种群之间猩猩可传染人，但人对猩猩无影响。据此，猩猩种群的病毒传播模型和第一问是相同的，人种群的模型中需要考虑猩猩对人的传染率和人对人的传染率，此种细微分发也是本模型的亮点。重新修正的模型中治愈率提高到了80%，第二问的治愈率为51.93%，更改治愈率，即可得到治疗效果提高后的病毒传播模型。通过对比，有外界专家介入和特效药物介入后，人种群的疫情高峰值降低，治愈数提高34.80%，死亡数降低25.22%。由此可见，治疗效果的提高对
4、埃博拉病毒的控制有显著作用。检验模型时利用代数方法，确定其可行性和正确性。本题所建模型采用递推模型，避免使用微分方程等复杂算法，简单易懂，能被更多人理解运用，该模型也可应用于病虫害的研究上，对农业、林业等实际问题有现实性意义。关键词：递推模型；参数估计；数据拟合一、问题重述埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）是引起人类和灵长类动物发生埃博拉出血热（EBHF）的烈性病毒，由其引起的出血热是当今世界上最致命的病毒性出血热，该病毒具有传染性，主要通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播，潜伏期通常只有510天，发病后14天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者的死亡率高达50%至90%，患病后很难
5、根除，迄今为止已造成十次有规模的爆发流行，引起WHO（联合国世界卫生组织）的高度重视。现人为假设某地区有两个“虚拟种群”：20万人类和3000只猩猩，通过处理该地区埃博拉疫情的统计数据，得出病毒传播规律，深刻认识其危害并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高对控制病毒蔓延的作用。基于此目的，建立数学模型讨论下列问题：（1） 由病毒传播模型动态描述埃博拉病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，预测该种群在第80周、第120周、第200周的疫情变化情况。（2） 由“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩种群疫情的发展，预测接下来两个种群中的疫情变化情况，给出“虚拟人类种群”在第80周、第1
6、20周、第200周的相关数据。（3） 在外界专家的介入、严格控制人类与猩猩的接触并通过某种特效药物提高人群治愈率的前提下，预测疫情在“虚拟人类种群”中的发展情况，对比第（2）问的结果说明其作用和影响，并给出疫情在第45周、第50周、第55周的预测数据。（4） 依据前述模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。二、问题分析对于问题（1），要求建立埃博拉病毒的传播模型用以动态描述“虚拟猩猩种群”中病毒的传播规律，这属于传染病传播模型。将病毒的传播模型量化为“虚拟猩猩种群”中猩猩的发病个数，并找出与发病数有关的因素。进一步分析数
7、据得到猩猩的发病数与感染数、处于发病状态数、自愈数和因病死亡数有关，用表示第周周末猩猩发病个体数，并假设感染率、自愈率、死亡率是关于周数t的函数，由此列出的方程。为了确定、的表达式，首先算出每周的感染率、自愈率和死亡率，然后用SPSS绘制散点图，进行方差和相关性分析，若有相关性，则是关于的函数；若无，则是常数。建立与、的函数关系式，通过矩阵、递推方式求解表达式，并进行检验，最终得到可行模型。对于问题（2），要求建立种群之间相互感染的疾病传播模型，就必须知道传染方式。分析材料，结合传染病在人和猩猩之间的传播特点和题设条件，得出人与猩猩相互作用的传染病传播流程，如图1所示：种群内猩猩 猩猩种群间种
8、群间 种群内人 人图1 人与猩猩相互作用的传染病传播方式同第一问一样，将模型量化为人的发病个数，以表示，通过计算分析得出人种群的治愈率、死亡率、传染率也都为常数。另外，本题还应确定因传染源的不同导致的传染率不同问题，设猩猩对人的传染率为，人对人的传染率为，基于以上观点，建立相互感染模型。对于问题（3），在第41周，外界专家开始介入、并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且使用某种特效药物治疗隔离人群，通过这些措施，最显著的效果是提高了治愈率。现在的治愈率为80%，治愈率提高意味着死亡率降低，且猩猩对人的传染率为0，重新修正函数，建立改善治疗方法后的病毒传播模型。对于问题（4），对比前述“虚拟人类种
9、群”中病毒传播的两个模型，结合预测数据，应该得出疫情好转的结论，说明治疗效果是有用的，若没有得出该结论，则说明治疗没有效果，也即说明埃博拉病毒的可怕性，人类根本无法控制它。三、模型假设3.1 研究对象为理想群体，即该种群内各类群体分布均匀，无出生率、迁入迁出、病源输入输出和其他任何原因引起的死亡。3.2 所有患者均为“他人输入型”，即传染方式为接触式，不与患病者接触就不会被感染。已被隔离者不再具有传染性，且其相互之间不会发生交叉感染。已治愈患者都具有长期的免疫力，即二度感染的概率为0。3.3 单位时间内潜伏群体的数量和发病总数成比例；单位时间内自愈群体的数量和发病总数成比例；单位时间内死亡群体
10、的数量和发病总数成比例。3.4 治愈好的人接受隔离治疗的疗程是一定的，即使提前被治愈好也不会解除隔离；忽略死亡人数中发病但未被隔离部分的传染能力，只考虑活着的发病但未被隔离的人的传染能力。四、符号说明4.1 “虚拟猩猩种群”模型中的符号:第周的发病个体总数:第周的感染（潜伏）个体数:第周的自愈个体数:第周的死亡个体数:感染率:自愈率:死亡率4.2 “虚拟人类种群”模型中的符号:第周人的发病总数:第周周末被隔离的人数:第周周末处于发病状态且未被隔离的人数:第周隔离人群中的治愈人数:隔离人群的治愈率:第周的死亡人数 :发病总人数的死亡率:第周被发病猩猩感染的人数:猩猩的传染率：第周被发病者感染的人
11、数:发病但未被隔离人群的传染率五、模型建立5.1 “虚拟猩猩种群”的病毒传播模型欲建立埃博拉病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播模型，需要对问题进行数学化，抽象出和病毒传播有联系的量，并确定影响因素，拟合出相关函数，通过此函数对种群的疫情发展进行进一步的预测。现以“虚拟猩猩种群”中猩猩发病数作为抽象出的量，影响因素为感染数、处于发病状态数、自愈数和因病死亡数，设感染率、自愈率、死亡率是关于周数的函数，由所给数据得出表达式。 5.1.1 数据的处理和分析由猩猩的相关数据假设出感染率、自愈率和死亡率，因为不能确定其是否为常数或的函数，所以先假设为函数。记为第周发病总数，、分别为第周的感染个体数、自愈个体
