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1、2022北京铁路二中高二（下）期中数 学（试卷满分150分 考试时长120分钟）第卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 数列an是递增数列，则an的通项公式可以是下面的() X01PaA B C D. 2. 随机变量的分布列如下：若，则的值是（ ）A B1 C2 D3 3. 等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n等于()A9 B10 C11 D.124. 两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点
2、分布，则下列选项中不正确的是（ ）A B C D 5. 已知等比数列an各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于()A. B. C. D.或6. 已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33 C31 D.297. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A B C D8. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的
3、人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A B C D9. 在数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线xy0上，则()Aan3n Ban Cann D.an3n210. 从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（
4、; ）A B C D11. 设，（），则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D12. 下列说法不正确的是（ ） A若函数满足则函数在处切线斜率为B函数在区间上存在增区间，则C函数在区间上有极值点，则D若任意，都有，则有实数的最大值为第卷（非选择题 共102分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13. 函数的图象在处的切线的斜率为_.14. an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a75，S721，则S10_
5、. 15. 等差数列an中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为_16. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_ 17. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为_.18. 已知函数（为常数），当时，有最小值当时，有两个极值点曲线在点处的切线方程为当时，在有最大值1上述判断正确的结论的标号是 三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出必
6、要的文字说明、证明过程或演算步骤19. （本小题满分13分）已知数列是等差数列，为其前项和，.（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和.20. （本小题满分14分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：顾客图书A11111B11111111C1111111D111111（I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量 （单位：本）；（）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子
7、红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结果不需要证明）21. （本小题满分15分）已知函数(I)讨论函数的单调性；(II)当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：22. （本小题满分15分）某市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，记，M表示a，b中的较大者.(I)从这15辆车中任取2辆，
8、求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；(II)求的值；(III)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；23. （本小题满分15分）已知函数，. （）当时，求函数的极值点；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.数列an是递增数列，则an的通项公式可以是下面的() A B C D. 【答案】AX01Pa2.随机变量的分布列如下：若，则的值是（
9、0;）A B1 C2 D3 【详解】由题可得， ，故选：C.3.等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n等于()A9 B10 C11 D.12【解析】a3a52a414，a47.d2，Snna1·dn×2n2100，n10.【答案】B4.两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（ ）A B C D 【答案】D5.已知等比数列an各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于()A. B. C. D.或【解析】由题意，得a3a1a2，
10、即a1q2a1a1q，q21q，解得q.又an各项均为正数，q>0，即q.【答案】B6.已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33 C31 D.29【解析】设数列an的公比为q，a2·a3a·q3a1·a42a1，a42.又a42a7a42a4q324q32×，q.a116，S531.【答案】C7.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【详解】
11、，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，故.故选：D.8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A B C D【答案】B【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，依题意，解得，所以所求近视的概率为.故选：B9.在数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x
12、y0上，则()Aan3n Ban Cann D.an3n2【解析】点(，)在直线xy0上，即数列是首项为，公差为的等差数列数列的通项公式为(n1)n，an3n2.【答案】D10.从装有3个白球m个红球n个黄球（这些小球除颜色外完全相同）的布袋中任取两个球，记取出的白球的个数为X，若，取出一白一红的概率为，则取出一红一黄的概率为（ ）A B C D【答案】A【详解】依题意，X的可能值为0，1，2，则有，于是得，解得，袋中共有10个球，因此，取出一白一红的概率为，解得，则，所以取出一红一黄的概率为.故选：A11.设，
13、（），则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D【答案】A【详解】令，则由，得，由，得则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.故，且又由，可得，则即，则综上，有，即12.下列说法不正确的是（ ） A若函数满足则函数在处切线斜率为B函数在区间上存在增区间，则C函数在区间上有极值点，则D若任意，都有，则有实数的最大值为【答案】C对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B正确；对于C
14、，由，可得，则在区间上有变号零点，即在区间上有解，又，当时，函数没有极值，故，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13.函数的图象在处的切线的斜率为_.14.an为等差数列，Sn为其前n项和，已知a75，S721，则S10_. 【解析】设公差为d，则由已知得S7，即21，解得a11，所以a7a16d，所以d.所以S1010a1d10×40.【答案】4015.等差数列an中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为_【解析
15、】由题意可得即解得<d<，又dZ，d5.an33(n1)×(5)385n.【答案】an385n(nN*)16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_17.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为_.【答案】 【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得设A=“两轮活动星队猜对3个成语”,则,且
16、与互斥,与,与分别相互独立,所以因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.故答案为：18.已知函数（为常数），当时，有最小值当时，有两个极值点曲线在点处的切线方程为当时，在有最大值1上述判断正确的结论的标号是 【答案】解：对于选项，当时，求导得，令，解得.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以当时，有最大值，故选项错误；对于选项，当时，对求导得，当时，令，解得，且，当时，当时，当时，所以在时取极小值，在时取极大值.当时，令，解得，且，当时，当时，当时，所以在时取极大值，在时取极小值，所以当时，有两个极值点，故选项正确；对于选项，因为，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项
17、正确；对于选项，当时，则，显然当时，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，故选项正确，三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19.（本小题满分13分）已知数列是等差数列，为其前项和，.（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和.解：（）因为，所以.2分因为数列是等差数列，所以，.4分所以.6分（）由可得，8分所以.10分从而可知是首项，公比为的等比数列，11分所以其前项和为.13分20.（本小题满分14分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，15）购买这四类图书的情况，记
18、录如下（单位：本）：顾客图书A11111B11111111C1111111D111111（I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量 （单位：本）；（）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结果不需要证明）解：（I）（本）答：A类图书的月销量约为1000本2分（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为X可取0，5，10，154分；8分所以X的分布列为X05101
19、5P10分所以12分（III） 图书D14分21.（本小题满分15分）已知函数(I)讨论函数的单调性；(II)当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：解: (I)因为，则， 1分当时，令，解得或，此时单调递增；2分令，解得，此时单调递减；3分当时，故此时在上单调递增；4分当时，令，解得或，此时单调递增；5分令，解得，此时单调递减；6分综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 7分(II)由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，又，8分故；9分又， 则，即，10分故；11分则12分令，13分则，令，
20、可得，此时单调递增，令，可得，此时单调递减， 又，14分故当时，即当时，即证. 15分22.（本小题满分15分）某市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，记，M表示a，b中的较大者.(I)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；(II)求的值；(III)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；解:
21、(I)这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为5分(II)， 8分一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3， 9分则， 10分所以的可能值为，0，1，2， 11分， 所以的分布列为012P14分所以 15分23.（本小题满分15分）已知函数，. （）当时，求函数的极值点；（）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.解：（）当时，.，2分在区间上，；在区间上，.所以，在上单调递增，在上单调递增减.4分所以的极大值点为，没有极小值点.5分（）令，.则不等式恒成立，即恒成立.7分 当时，因为，所以所以在上是单调递增函数，又因为所以关于的不等式不能恒成立9分当时，令，因为，得，所以当时，；当时，因此函数在是增函数，在是减函数11分故函数的最大值为12分令，因为在上是减函数，13分又因为，所以当时，14分所以整数的最小值为15分
