应用弹塑性力学ch8-温度应力问题

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1、要点要点:（1）温度场的确定）温度场的确定 热传导微分方程、温度场边界条件热传导微分方程、温度场边界条件的确定。的确定。（2）温度应力场问题的基本方程）温度应力场问题的基本方程（3）温度应力场问题的求解方法）温度应力场问题的求解方法8-1 8-1 关于温度场和热传导的一些概念关于温度场和热传导的一些概念 8-2 8-2 热传导微分方程热传导微分方程8-3 8-3 温度场的边值条件温度场的边值条件8-4 8-4 按位移求解温度应力的平面问题按位移求解温度应力的平面问题8-1 8-1 关于温度场和热传导的一些概念关于温度场和热传导的一些概念（1 1） 温度应力温度应力当弹性体的当弹性体的温度改变温

2、度改变时，由于时，由于受到约束作用受到约束作用，造成，造成弹性体弹性体不能不能自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。 称为称为温度应力温度应力或或变温应力变温应力温度应力产生的条件：温度应力产生的条件：温度改变；温度改变；受到约束作用，物体不能自由变形。受到约束作用，物体不能自由变形。（2 2） 热传导热传导热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入与之相接触的另一物体。与之相接触的另一物体。 称为热传导称为热传导（3 3） 温度场及其描述温度场及其描述任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，任

3、一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律，称为该瞬时的温度场。称为该瞬时的温度场。),(tzyxTT 稳定稳定温度场：温度场：若物体内各点的温度若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化只随位置（坐标）而变化，而不随时间，而不随时间而变化的温度场。而变化的温度场。稳定稳定温度场温度场：若物体内各点的温度若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化只随位置（坐标）而变化，而不随时间，而不随时间而变化的温度场。而变化的温度场。 即：即：0),(ttzyxT不稳定不稳定温度场温度场： 稳定稳定温度场也称温度场也称定常温度场。定常温度场。若物体内各点的温度若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化不

4、仅随位置（坐标）而变化，而且随时，而且随时间而变化的温度场。间而变化的温度场。 不稳定不稳定温度场也称温度场也称非定常温度场。非定常温度场。平面稳定平面稳定温度场温度场：),(tyxTT 0),(ttyxT, 0),(ztyxT（4 4） 等温度面等温度面任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。到的曲面，称为该瞬时的等温面。（4 4） 等温度面等温度面任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得到的曲面，称为该瞬时的等温面。到的曲面，称为该瞬时的等温面。图中虚线表示相差为图中虚线表示相差为T 的一些等温面

5、。的一些等温面。等温度面的性质等温度面的性质：（a）沿等温面，温度不变；而沿其它面，）沿等温面，温度不变；而沿其它面，温度都为变化的。温度都为变化的。（b）沿等温面的法线方向，温度的变化）沿等温面的法线方向，温度的变化率最大。率最大。（5 5） 温度梯度温度梯度为表示温度为表示温度 T 在某一点在某一点 P 处的变化率，在处的变化率，在 P 点取一点取一矢量矢量，称为，称为温度梯度，温度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；温面的法线方向，即指温度增加的方向；大小：大小：nT取等取等温面的法线方向单位矢量为温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温

6、度，沿温度增加增加方向。方向。（5 5） 温度梯度温度梯度为表示温度为表示温度 T 在某一点在某一点 P 处的变化率，在处的变化率，在 P 点取一点取一矢量矢量，称为，称为温度梯度，温度梯度， 用用T 表示。表示。T：方向：方向： 沿等沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；温面的法线方向，即指温度增加的方向；大小：大小：nT取等取等温面的法线方向单位矢量为温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。，沿温度增加方向。则则温度梯度可表示为：温度梯度可表示为：nT0nT温度梯度的物理意义温度梯度的物理意义： 温度梯度代表该点的最大温度变化率的温度梯度代表该点的最大温度变化率的方向方向和和大小

7、大小。温度梯度的投影：温度梯度的投影：),cos(xnnT),cos(ynnT),cos(znnTxTyTzT（6 6） 热流速度与热流密度热流速度与热流密度热流速度热流速度：单位时间内通过等温面面积单位时间内通过等温面面积S 的热量，的热量，dtdQ用用表示。表示。热流密度或热通量：热流密度或热通量：通过等温面单位面积的热流速度，用通过等温面单位面积的热流速度，用 q 表表示示热流密度的大小热流密度的大小，则有，则有SdtdQq/热流密度的热流密度的矢量表示矢量表示：SdtdQ/0nqn0 为温度梯度方向的单位矢量。为温度梯度方向的单位矢量。“”表示热流密度的表示热流密度的矢量表示矢量表示q

8、 的方向的方向总是与温度梯度的方向相反。即：热量总是与温度梯度的方向相反。即：热量总是由高温面传到低温面。总是由高温面传到低温面。（7 7） 热传导基本定律热传导基本定律热流密度与温度梯度成正比，而方向相反热流密度与温度梯度成正比，而方向相反。即。即Tq（i i）式中，比例常数式中，比例常数 称为称为导热系数导热系数，可表示为，可表示为SnTdtdQ/由此可见，由此可见，导热系数导热系数 的物理意义为的物理意义为：单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。 的量纲：的量纲： 热量热量长度长度 1 1 时间时间 1 1 温度温度 1 1热流密度的大小

9、：热流密度的大小：nTq热流密度矢量热流密度矢量 在在 x 轴上的投影为轴上的投影为q),cos(xqqxq),cos(xnTq),cos(0 xnTnxT同理，热流密度矢量同理，热流密度矢量 在在 y 轴、轴、 z 轴上的投影为轴上的投影为q,xTqx,yTqy,zTqz（8-28-2）表明：热流密度矢量表明：热流密度矢量 在任一方向上的投影，等于导热系数乘在任一方向上的投影，等于导热系数乘以温度在该方向上的递减率。以温度在该方向上的递减率。q8-2 8-2 热传导微分方程热传导微分方程1. 热传导微分方程热传导微分方程（1 1） 热平衡原理热平衡原理在任意一段时间内，物体的在任意一段时间内

10、，物体的任一微小部分所积蓄的热量任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高（亦即温度升高所需的热量），等于所需的热量），等于传入该微小部分的热量传入该微小部分的热量加上加上内部热源所供给的热量内部热源所供给的热量。 热平衡原理热平衡原理（2 2） 温度升高积蓄的热量温度升高积蓄的热量zxyOzxydxdzdy取如图微元体取如图微元体 dxdydz ，设微元体，设微元体在在dtdt时间内，温度由时间内，温度由 T 升高到：升高到：dttTT由于温度升高，微元体积蓄的热量为：由于温度升高，微元体积蓄的热量为：dttTdxdydzc式中，式中，为材料的密度；为材料的密度； c 为材料为材料的比热容，即单

11、位质量的物体温度升高的比热容，即单位质量的物体温度升高 1 1所需的热量；所需的热量；zxyOzxydxdzdyxqdxxqqxx（3 3） 热流传入的热量热流传入的热量在在dt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 的左的左面传入的热量：面传入的热量：dydzdtqx在在dtdt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 的右的右面传出的热量：面传出的热量：dydzdtdxxqqxx在在dtdt时间内，微元体时间内，微元体 dxdxydz 净传入净传入的热量：的热量：dxdydzdtxqx由热流密度与温度梯度的关系，有由热流密度与温度梯度的关系，有,22dxdydzdtxTdxdyd