大一极限运算法则

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1、 第一章 一、一、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 . 证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个

2、无穷小之和无穷小之和不一定不一定是无穷小是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设uuM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为是0 xx 时的无穷小 .oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sin

3、x01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf则有则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知也是无穷小也是无穷小, 再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小BA的关系定理的关系定理 , 知定理结论成立知定理结

4、论成立 .定理定理 1.3.1 若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf则则.BA)()()(xgxfx利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .说明说明: 定理定理 1可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充性质:(极限的保号性）若lim( ),f xA且在0 x的某去心邻域内有( )0( )0)f xorf x，则0(0)AorA定理定理 2. 若若,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limx

5、gxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理证明利用极限与无穷小关系定理证明 .说明说明: 定理定理 2可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )例例2. 设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小为无穷小B2B1)(1xg)(0 xx定理

6、定理 3 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,设设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小无穷小有界有界BA因此由极限与无穷小关系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例1.3.1. 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多项式多