零输入响应和零状态响应

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1、系统响应的划分系统响应的划分起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统响应的求解系统响应的求解对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识X系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)X 也称也称固有响应固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于式无关。对应于齐次解齐次解。 形式取决于形式取决于外加激励外加激励。对应于。对应于特解特解

2、。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。统储能）所产生的响应。 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。零），由系统的外加激励信号产生的响应。 自由响应：自由响应：暂态

3、响应：暂态响应：稳态响应稳态响应：强迫响应：强迫响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义X二起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 ) )电容的等效电路电容的等效电路电感的等

4、效电路电感的等效电路X电容器的等效电路C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC电路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联 tuvC)0( C)(tvC)(tiC)0(Cv等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状态为零状态为零X)(tiL )(tvLL故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源的并联。的并联。)()0(tuiL 电感的等效电路0 0)0( tiL，)(tiL)(tvLL)0( LiX 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的

5、系统状态值决定的初始值求出待定系数系统状态值决定的初始值求出待定系数。 三.求解nkcdtyddttydakknkkk, 2 , 1 , 0,)0(0)(zik0zik起始条件：1( )intziiiytCe系统方程：系统方程：解的形式：解的形式：由由起始条件起始条件求待定系数。求待定系数。零输入响应零输入响应X例例1 1： 求系统的零输入响应求系统的零输入响应22( )3( )2 ( )0, (0 )1,(0 )2ddy ty ty tyydtdt解：解：特征方程特征方程02322, 121特征根特征根ttzieCeCty221)(零输入响应零输入响应1212(0 )1(0 )22yCCyC

6、C 由起始条件由起始条件2zi( )43,0ttyteet得零输入响应为得零输入响应为三.求解X 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由 状态值状态值 为零决定的初始值求出待定系数为零决定的初始值求出待定系数。 (0 )(0 )CLvi系统方程：系统方程：解的形式：解的形式：齐次解齐次解+ +特解特解由由初始初始条件条件求待定系数。求待定系数。nkdtyddttxdbdttydakzxmkkknkkzsk, 2 , 1 , 0, 0)0()()(k0k0k起始条件：1( )( )intipiy tCeyt零状态响应零状态响应

7、三.求解X例例2 2： 求系统的零状态响应求系统的零状态响应22( )3( )2 ( )( ), (0 )1,(0 )2tddy ty ty te u tyydtdt解：解：特征方程特征方程02322, 121特征根特征根 212( )tthytC eC e齐次通解齐次通解三.求解 ( )tpytCte激励函数中激励函数中a = -1= -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为： X三.求解 ( )tpytte1212(0 )0(0 )210yCCyCC 由起始状态导出初始条件由起始状态导出初始条件(0 )0(0 )0(0 )0(0 )0yyyy2

8、-t-t-t-t2()3()2()ddCteCteCteedtdt代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 1C特解特解 零状态响应：零状态响应：212 ( )tttzsytC eC ete 1211CC2 ( )tttzsyteete 所以：所以：X求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。卷积积分法。( )( )( )r te th t系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即三.求解X)()(trectrptniii1)(trececptniftnixiiii11tniftnixt

9、niiiiiiiececec111自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应)(trzi)(trzs零状态响应的零状态响应的齐次解齐次解自由响应自由响应式中式中零输入响应零输入响应系统全响应系统全响应X两种分解方式的区别：两种分解方式的区别：1 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同icixc与不相同icixc由初始状态和激励共同确定由初始状态确定2 2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解t 对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指时，响应趋于零的那部分响应

10、分量；而稳态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指时，响应不为零的那部分响应分量。时，响应不为零的那部分响应分量。t X四.对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)零状态线性零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。各激励信号呈线性。(3)零输入线性零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。始状态

11、呈线性。 X31zizs( )( )( )2esin(2 )( )tr tr trttu t32zizs( )( )2( )e2sin(2 ) ( )tr tr trtt u t解：解：四.对系统线性的进一步认识X3zizs0( )( )()r tr trtt03()3003e( ) esin(22 ) ()t ttu tttu tt 4zizs( )2( )0.5( )r tr trt332 3e( )0.5esin(2 )( )ttu ttu t解得解得3zi( )3e( )tr tu t3zs( ) esin(2 ) ( )trtt u t 35.5e0.5sin(2 )( )ttu t四.对系统线性的进一步认识