机械工程控制基础5-稳定性

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1、机械工程控制基础机械工程控制基础2013.112013.11主讲人：高爱华主讲人：高爱华 机械类专业必修课机械类专业必修课机械与动力工程学院机械与动力工程学院1 1、课程准备、课程准备7 7、系统的性能指标与校正、系统的性能指标与校正2 2、绪、绪 论论4 4、系统的时间响应分析、系统的时间响应分析3 3、系统的数学模型、系统的数学模型5 5、系统的频率特性分析、系统的频率特性分析6 6、系统的稳定性分析、系统的稳定性分析第一讲第一讲 稳定性概念稳定性概念 Routh判据判据依据上述实例可得如下结论：依据上述实例可得如下结论： A系统稳定与否取决于系统内部条件，系统稳定与否取决于系统内部条件，

2、而与输入无关；而与输入无关；A系统发生不稳定必有适当的反馈作用；系统发生不稳定必有适当的反馈作用；A控制理论中讨论的稳定性是输入为控制理论中讨论的稳定性是输入为零而初始状态不为零的稳定性。稳零而初始状态不为零的稳定性。稳定性是指自由响应的收敛性定性是指自由响应的收敛性二、稳定性的定义和条件二、稳定性的定义和条件1.1.稳定性定义稳定性定义定义：定义：系统稳定性系统稳定性是指系统在是指系统在干扰作用干扰作用下下偏离平衡位偏离平衡位置置，当，当干扰撤除干扰撤除后，系统后，系统自动回到平衡位置自动回到平衡位置的能力。的能力。系统稳定性说明系统稳定性说明 1： 若系统在若系统在初始状态的影响初始状态的

3、影响下，由它所引起的系统的下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移时间响应随着时间的推移，逐渐，逐渐衰减并趋向于衰减并趋向于0 0（即回（即回到平衡位置），则称到平衡位置），则称系统为稳定的系统为稳定的；反之，由它所引起；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而的系统的时间响应随着时间的推移而发散发散（即偏离平衡（即偏离平衡位置越来越远），位置越来越远），则称系统是不稳定的则称系统是不稳定的。)()()()()(01)1()(1txtxatxatxatxaioonnnono nitsinitsitBeAeAtxiio1211)()(0lim1211 nitsinitsitiieAe

4、A nitsinitsitiieAeA1211lim tstkelimtjknitsinitsiteAeAeAii 1211limknitsinitsitAeAeAii 1211limktskAeAk 线性系统的线性系统的稳定性稳定性是系统的固有特性，仅与系统是系统的固有特性，仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构与参数有关，而且还与的结构与参数有关，而且还与系统的输入有关系统的输入有关。系统稳定性说明系统稳定性说明 2：2.2.稳定性充要条件稳定性充要条件 系统稳定的充要条件是系统所有特征根的实部系统稳定的充要条件是系统所有

5、特征根的实部小于小于0 0，或系统传递函数的所有极点均分布在，或系统传递函数的所有极点均分布在ss平面的左半平面内。平面的左半平面内。 临界稳定的系统极易因为系统的结构和参临界稳定的系统极易因为系统的结构和参数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，数的细微变化而变成不稳定的系统。因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。临界稳定往往也归结为不稳定的一种。三、关于稳定性的相关提法三、关于稳定性的相关提法1. 1. 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性)(o 若若o o为系统的平衡工作点，为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域始偏差

6、（即初态）不超过域，由扰动引起的输出（这种初态由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的整数不超过预先给定的整数，则，则系统是稳定的，反之，系统是系统是稳定的，反之，系统是不稳定的。不稳定的。3. 3. “小偏差小偏差”稳定性稳定性 系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳系统初始偏差（初态）不超过某一微小范围时的稳定性，称之为定性，称之为“小偏差稳定性小偏差稳定性”或或 “局部稳定性局部稳定性”。4. 4. “大范围大范围”渐近稳定性渐近稳定性 若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统若系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为

7、称为“大范围渐近稳定大范围渐近稳定”，反之，系统是不稳定的。，反之，系统是不稳定的。2. 2. 渐近稳定性渐近稳定性 就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的就是线性系统的稳定性，要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。义；对非线性定义，这两种稳定性是不同的。四、四、Routh稳定判据稳定判据1. 1. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件设系统的特征方程为：设系统的特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn两边同除两边同除an)()(210111nnnnnnnssssssa

8、asaasaasniinnnjijijinniinsssssss122,111)1(依据上式，依据上式，s的同次幂前系数应对等的同次幂前系数应对等 要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：须满足以下两个条件：A特征方程的各项系数都不等于特征方程的各项系数都不等于0；A特征方程的各项系数的符号相同。特征方程的各项系数的符号相同。按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于为系统特征方程的各项系数全大于0 0，此即系统稳定的必

9、要条件。，此即系统稳定的必要条件。niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2, 132, 1211)1(.2. 2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件对系统的特征方程：对系统的特征方程：0)(0111asasasasDnnnn其各阶系数按下列形式排成其各阶系数按下列形式排成RouthRouth表：表：ns1ns2ns3ns2s1s0sna2na4na6na1na3na5na7na1A2A3A4A1B2B3B4B1D2D1E1F13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA12131

10、1AAaaABnn131512AAaaABnn141713AAaaABnn元素计算方法：元素计算方法：RouthRouth判据判据：RouthRouth表中表中第一列各元符号改变的次数第一列各元符号改变的次数等于系等于系统统特征方程特征方程具有具有正实部特征根的个数正实部特征根的个数。因此系统稳定的充。因此系统稳定的充要条件可表述为：要条件可表述为：RouthRouth表中第一列各元的符号均为正。表中第一列各元的符号均为正。实例分析实例分析1 1 系统特征方程系统特征方程0301119)(234sssssD试用试用RouthRouth表判断其稳定性。表判断其稳定性。4s3s2s1s0s1193

11、011103030012030301111)19(1123030111)30(改变符号一次改变符号一次改变符号一次改变符号一次解：解：由由Routh判据：判据：系统不稳定。系统不稳定。3. 3. 系统稳定的特殊情况系统稳定的特殊情况（1）如果在）如果在RouthRouth表中任意一行的第一个元素为表中任意一行的第一个元素为0 0，而其后各元不全为，而其后各元不全为0 0，则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是则在计算下一行的元素时，将趋向于无穷大。于是RouthRouth表计算无法继表计算无法继续，为了克服这一困难，续，为了克服这一困难，用一个很小的正数用一个很小的正数代替第一列的代替第