激光原理第二章答案

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1、第二章开放式光腔与高斯光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为2，根据几何关系可知证明：设入射光线坐标参数为 r1, 1，出射光线坐标参数为r2D A,1 sin 12 sin 2傍轴光线sin B贝U 1122，写成矩阵形式11得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为1, 1，出射光线坐标参数为 血，2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质 2中自由传播横向距离 d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得1 0 1 01 d10 0 1 0 .1 2化简后21d21得证。3试利用往返

2、矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且 两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:1 L1 L22 1 0 11 0 1R2由于是共焦腔，则有R,R,L将上式代入计算得往返矩阵10T01nnA Bn1 0n 1 011C D0 10 1nTn 莎莎可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件 0g1g21其中g11“2 1 LR2对平凹共轴球面镜腔有 R,R20。则

3、g11,g2R2，再根据稳定性条件0 g1g21 可得 01 LR2R2L。对双凹共轴球面腔有，R10, R2g1L和2L ,根据稳定性条件R20 g1g2 1 可得 0R1R2R1R2R1LR2L。R2对凹凸共轴球面镜腔有,R-!0, R2g1L丰2R20,根据稳定性条件0 g1g21可得0R1 LR1 R21 I10 1由(1)解出2mL则LL所以得到:I1(L I)LL11 1211m10.5(1)L 0.171.52所以等效腔长等于L I2再利用稳定性条件0(1)5.激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长

4、L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜 M,和M2的曲率半径分别为 R和R2，R1m,R2 2m工作物质长I 0.5m，折射率1.52当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为I ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为I1和I2，则I1 I I2 L。设此时的等效腔长为 L，则光在腔先经历自由传 播横向距离I1，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离I ,再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离I2，则1 01I2101I1010 010-1.17m<L 2.17m6.图2.3所示三镜环形腔，已知I，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R

5、在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的F (RCOS )/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线,F R/ (2cos )，为光轴与球面镜法线的夹角。解：A BC DI 31稳定条件1 二31 1F2 F左边有丄2丄F F对子午线:F子午Rcos2图2.11 011I12I01丄1011FF4I4I22I212 3IFF2F2I222I_ 2- 1FIF.213IIAD 1-2FF2101所以有丄 2或-1对弧矢线：F弧矢2cos对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线弧矢光线I"3任意

6、光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得伫丨R I或R 口19237.有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm,方形孔边长d 2a 0.12cm,入=632.8nm镜的反射率为n 1,r2 0.96，其他的损耗以每程 0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果作一个大略的估计。氦氖增益由公式想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5g°l4 1eg1 3 10 -d估算(I为放电管长度，假设I L)解：TEM 01模为第一高阶横模，并且假定TEM 00和TEM。1模的小信号增益系数相同，用g0表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两

7、个关系式eg、晶(1 00 0.003) 1IegtTj?(1 01 0.003) 1II根据已知条件求出腔的菲涅耳数2 2a0.06 门71.9L 30 632.8 10由图2.5.5可查得TEM 00和TEM01模的单程衍射损耗为0010 8.370110 6氦氖增益由公式310牛0.计算。代入已知条件有 egl 1.075。将eg0|00 、 01 、r1和a的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。II式的条为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足 件，则要求010.047根据图2.5.5可

8、以查出对应于 01的腔菲涅耳数N' 0.90由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长2a N'2、300 632.8 10 6 0.90.83mm同理利满足I式的条件可得2a 0.7mm因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm 2a 0.83mm即可实现TEM 00模单模振荡。&试求出方形镜共焦腔面上 TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的 TEM 30模的场分布可以写成x2V30(x, y)C30H 3(L / )2 /(L )x，则 I式可以写成V30(X, y)C30H 3 X e(L / )式中H3 X为厄米多项

9、式，其值为H3 X 8X3-12X由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令h3 X 0,得X, 0;X2.3/2;X3.3/2考虑到 0s . L / ，于是可以得到镜面上的节点位置Xi 0；X20s；X30s2 2所以，TEM 30模在腔面上有三条节线，其 x坐标位置分别在0和.3 0s/2处，节线之间 位置是等间距分布的，其间距为、3 0s/2 ；而沿y方向没有节线分布。9.求圆形镜共焦腔TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。 解：在拉盖尔一高斯近似下，可以写成如下的形式mn rCmn,2r0 sLm2r220sr22Oscosmsin mm为零时，只能选余弦，否则无意对