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1、 第二章第二章 有导体时的静电场有导体时的静电场静电场中的导体静电场中的导体封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场电容器及其电容电容器及其电容静电演示仪器静电演示仪器带电体系的静电能带电体系的静电能习题课习题课静电场中的导体静电场中的导体 一、几个定义一、几个定义 1 1、导体、导体 3 3、绝缘体、绝缘体 4 4、中性导体、中性导体 金属导体：金属导体：存在大量可自由移动的自存在大量可自由移动的自由电子，自由电子对电场变化响应很快由电子，自由电子对电场变化响应很快（10101919s s）。）。2 2、电介质、电介质 4 4、带电体、带电体 5 5、孤立导体、孤立导体 静电场中的导体静
2、电场中的导体二、静电平衡二、静电平衡 静电场中的导体，当导体内自由电子不作静电场中的导体，当导体内自由电子不作宏观宏观运动时，我们说导体处于静电平衡状态。运动时，我们说导体处于静电平衡状态。 静电平衡的静电平衡的条件：条件： 导体内部各点场强为零导体内部各点场强为零E0静电平衡的形成：静电平衡的形成：+EE0静电场中的导体静电场中的导体静电平衡的静电平衡的性质：性质：（1 1）导体是等势体，导体表面是等势面。（）导体是等势体，导体表面是等势面。（证明证明）（2 2）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布在导）导体内部电荷体密度为零，电荷只能分布在导体表面。（体表面。（证明证明）（3 3）在导体外
3、部，紧靠导体表面的点的场强方向与）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷密度成正比：密度成正比：nePE0 ）（ 证明：静电平衡导体的表面电荷密度，与当地证明：静电平衡导体的表面电荷密度，与当地表面紧邻处的电场强度的大小成正比。表面紧邻处的电场强度的大小成正比。00 SSES 【思考思考】场强场强E E只只由电荷由电荷 S S 产生产生吗？吗？0 E En0 inEnePE0 ）（ PS S 静电场中的导体静电场中的导体三、带电导体所受的静电力：三、带电导体所受的静电力： 除除 外上所有电荷在外上所有电荷
4、在P P 点贡献的场强点贡献的场强 除除 外上所有电荷在外上所有电荷在P1P1点贡献的场强点贡献的场强 在在 的场强的场强 点的总场强点的总场强 ）：）：（1PE）：）：（PE S S 1PS 1P）：（1PE ）：）：（1PES neSF022 SPEF ）（nePEPE012 ）（）（nSePEPEPE0111 ）（）（）（nePE012 ）（nSePE012 ）（S静电场中的导体静电场中的导体四、孤立导体形状对电荷分布的影响四、孤立导体形状对电荷分布的影响 避雷针：针头、引下线、接地线避雷针：针头、引下线、接地线 导体向外突出、曲率导体向外突出、曲率大且为正的地方，电荷密度大。反之大且为
5、正的地方，电荷密度大。反之导体向里凹进、曲率小且为负的地方，导体向里凹进、曲率小且为负的地方，电荷密度小。电荷密度小。尖端放电尖端放电 实验表明：实验表明：雷击尖端雷击尖端导体静电平衡解题思路导体静电平衡解题思路 1 1、利用静电平衡的性质、利用静电平衡的性质 2 2、利用高斯定理、利用高斯定理 3 3、利用环路定理、利用环路定理 4 4、利用电场线性质、利用电场线性质 加上一定的解题技巧就可以定性加上一定的解题技巧就可以定性或定量地解决问题。或定量地解决问题。例例 1 1 如图，如图， 是带正电是带正电 的点电荷，的点电荷， 是中性是中性导体，试证导体，试证 左端的感生电荷绝对值左端的感生电
6、荷绝对值 小于等于施感电荷小于等于施感电荷 。q AqBBq+AB+例例 2 2 中性封闭金属壳内有正点电荷中性封闭金属壳内有正点电荷 ，求，求壳内、外壁感生电荷的数量壳内、外壁感生电荷的数量 。qq 例例3 3、4 4例例3 3、把例、把例1 1的导体的导体B B接地，试证接地，试证B B上不再有上不再有 的点。的点。例例4 4、半径为、半径为R R、电荷为、电荷为Q Q的金属球外有一与球的金属球外有一与球心距离为心距离为 的点电荷的点电荷 ，求金属球的电势，求金属球的电势（参考点在无穷远）。若球接地，求球面上（参考点在无穷远）。若球接地，求球面上的电荷的电荷 。0 lqq 静电场中的导体静
7、电场中的导体六、平行扳导体组例题六、平行扳导体组例题例例1 1、长宽相等的金属平板、长宽相等的金属平板A A和和B B在真空在真空中平行放置，如图，中平行放置，如图，板间距离比长宽小板间距离比长宽小的多的多。分别令每板带。分别令每板带 及及 的电荷，的电荷，求每板表面的电荷密度。求每板表面的电荷密度。解：解： ，在导体，在导体A A、B B内取两点内取两点 、 则：则：BqAqnPeE0121 02222040302012 nnnnPeeeeE 同同理理，4132 、1P2Pne法法1ne022 ne032 ne042 0 静电场中的导体静电场中的导体 法法2 2，由由电场线性质有：电场线性质
8、有： 法法3 3，作如图高斯面有：，作如图高斯面有： （1 1）此时，）此时，平行板表面可看成无限大平面。平行板表面可看成无限大平面。 （2 2）无论）无论A A或或B B是否接地，总是有，是否接地，总是有， （3 3）接地时）接地时 。 （？） （4 4）（）（2 2）、（）、（3 3）的结论在解复杂问题时可）的结论在解复杂问题时可直接引用直接引用4132 、041 32 32 SSqA21 最后，最后，SSqB43 SqqSqqBABA223241 、ne结论结论：静电场中的导体静电场中的导体例例2 2、在上例两板间插入长宽相、在上例两板间插入长宽相同的中性金属平板同的中性金属平板C C，
9、求六个壁，求六个壁的电荷面密度。的电荷面密度。解：利用例解：利用例1 1的结论有：的结论有：对于对于 点有：点有：5432 、AP0222222060504030201 nnnnnnPeeeeeeEA 61 SSqA21 又又、043 CBqSSq、 SqqSqqBABA22543261 、APne作作 业业1 1、7777页，思考题页，思考题2.52.5题题2 2、7878页，习题页，习题2.1.42.1.4题题3 3、7979页，习题页，习题2.1.52.1.5题题封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场一、一、壳内壳内空间的场空间的场（内壁和内壁以内）（内壁和内壁以内）1 1、壳内空
10、间无带电体的情况：、壳内空间无带电体的情况： 空间各点场强为零，壳内壁处处面电荷空间各点场强为零，壳内壁处处面电荷密度为零；壳外电荷（包括壳外壁电荷）在壳内产密度为零；壳外电荷（包括壳外壁电荷）在壳内产生的场强为零。生的场强为零。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +- -E等势体等势体结论：结论：唯一性定理唯一性定理 边界条件边界条件可将空间里电场的稳恒分布唯一可将空间里电场的稳恒分布唯一地确定下来。地确定下来。 空间的边界条件包括空间的边界条件包括： （1 1）带电体的几何形状；带电体的几何形状； （2 2）带电体的相互位置；
11、）带电体的相互位置； （3 3）每个带电体的电势或总电量。）每个带电体的电势或总电量。 也就是边界以外的电荷及导体对该空间的也就是边界以外的电荷及导体对该空间的电场贡献为零。电场贡献为零。封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场2 2、壳内空间有带电体的情况：、壳内空间有带电体的情况： 壳内壁电荷与壳壳内壁电荷与壳内电荷的代数和为零；壳内内电荷的代数和为零；壳内有电场，但有电场，但可以证明可以证明壳内电壳内电场由壳内电荷和壳内壁电荷场由壳内电荷和壳内壁电荷决定，壳外电荷（包括壳外决定，壳外电荷（包括壳外壁电荷）对壳内电场无影响。壁电荷）对壳内电场无影响。（范德格拉夫起电机原理）（范德格拉夫
12、起电机原理） + + + + + + + + + + + + + + + + +结论：结论： 封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场二、二、壳外壳外空间的电场（外壁和外壁以外）空间的电场（外壁和外壁以外）1 1、壳外无带电体的情况：、壳外无带电体的情况： 壳外有电场，但壳外有电场，但可以证明可以证明壳外电场由壳内电荷间接壳外电场由壳内电荷间接产生。若壳接地，则壳外场强为零。产生。若壳接地，则壳外场强为零。 SQinU=0壳内边值条件：壳内边值条件：Qin 、V=0壳外边值条件：壳外边值条件：Qout 、V=0 一个接地的封闭金属壳，可以起到壳内外互不影一个接地的封闭金属壳，可以起到壳内外
13、互不影响的屏蔽作用。响的屏蔽作用。封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场2 2、壳外有带电体的情况、壳外有带电体的情况 无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为零；零；可以证明可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁电荷）影响。电荷）影响。【思考思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电移动腔内带电体或改变腔内带电体电量，是否影响内、外表面电荷分布？量，是否影响内、外表面电荷分布？【思考题解答思考题解答】+ + + + + + + + + + + + + + + + +带电体带电体 移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体移
14、动金属腔内带电体，或改变腔内带电体的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表面电荷分布。面电荷分布。S封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场 对于封闭导体壳，壳外电荷（包括对于封闭导体壳，壳外电荷（包括壳外壁电荷）在壳外壁之内任一点的合场强壳外壁电荷）在壳外壁之内任一点的合场强为零，壳内电场不受壳外电荷影响；同样，为零，壳内电场不受壳外电荷影响；同样，壳内电荷（包括壳内壁电荷）在壳内壁以外壳内电荷（包括壳内壁电荷）在壳内壁以外任一点的合场强为零。任一点的合场强为零。 封闭导体壳（不论接地与否）壳内电场封闭导体壳（不论接地与否）壳内电场不受壳外电荷影响
15、；壳接地时，壳外电场不不受壳外电荷影响；壳接地时，壳外电场不受壳内电荷影响（包括间接影响）；受壳内电荷影响（包括间接影响）；结论：结论： 这种现象这种现象 叫叫静电屏蔽。静电屏蔽。唯一性定理、静电屏蔽运用唯一性定理、静电屏蔽运用 例例 1 1（思考题（思考题2.92.9）金属球）金属球A A置于与它同心的封闭金属置于与它同心的封闭金属球壳球壳M M内，内，A A及及M M的电荷分别为的电荷分别为 及及 ，A A的半径为的半径为 ，M M的内外半径为的内外半径为 及及 。（1 1）求）求A A的表面及的表面及M M的内外表面的电荷面密度的内外表面的电荷面密度（2 2）若）若A A改取偏心位置（但
16、不与改取偏心位置（但不与M M接触），接触）， 是否改变？是否改变？M M外的静电场是否改变？外的静电场是否改变？（3 3）若）若A A与与M M接触，情况又如何？接触，情况又如何？21 、A21 、AAqMqAR1R2R1S2S3SAM1R2RAR例例 2 2（思考题（思考题2.92.9）解）解（1）（2）若）若A放偏心（但不与放偏心（但不与M接触），接触）， （3） 若若A与与M接触，接触，24AAARq 2114 RqA 2224 RqqMA 外外静静电电场场不不变变。不不变变。将将改改变变，、MA21 222140RqqMAA 仍为：仍为：、化化。外外静静电电场场也也将将不不发发生生变
17、变M1S2S3SAM1R2RAR唯一性定理、静电屏蔽运用唯一性定理、静电屏蔽运用例例3 3、如图，中性导体球、如图，中性导体球A A内有两个空腔，腔内中心各内有两个空腔，腔内中心各放一点电荷放一点电荷 ， 。其中心联线与球中心在一直线。其中心联线与球中心在一直线上。另在上。另在A A外有一点电荷外有一点电荷 ， 在两腔中心的联线上，在两腔中心的联线上，距球心距离为距球心距离为 ，两腔中心间距为，两腔中心间距为 。 （1 1） 对对 的作用力的作用力 （2 2） 对对 的作用力的作用力 （3 3） 对对A A的作用力的作用力 （4 4） A A对对 的作用力的作用力 （5 5） 受到的合力。受到
18、的合力。1q2qqRrA2q1qqqrqq2q1q2q1q1qa唯一性定理、静电屏蔽运用唯一性定理、静电屏蔽运用例例3 3解：（解：（1 1）、（）、（2 2）直接由库仑定律求解。）直接由库仑定律求解。（3 3）由唯一性定理，）由唯一性定理， 111qqAqFF 1q2qqRrA 0021211212 qqqqqqqqFFFF、 00111211 qqqqqqqFFF、而而同同理理， 21qqF ）（qqqqFF121 rearqqaqq2144012012 211qqqF 唯一性定理、静电屏蔽运用唯一性定理、静电屏蔽运用（4 4）（5 5） 212qqAqFF 1q2qqRrA 111qqq
19、FF 02121 qqqqFF 022 qqF而而 22qqF ）（221qqqqFF rearqqaqq2144022012 221qqqF 1qqF 12121121qqqqqqqqqFFFF 0 12qqF 12qqF 121qqqF 02221 qqqqqFF同同理理，唯一性定理、静电屏蔽应用唯一性定理、静电屏蔽应用例例4 4、如图，、如图， 为半径为为半径为 的中性导体球球心。的中性导体球球心。 为位于球内的三个半径为为位于球内的三个半径为 的球形空腔的球心，它们的球形空腔的球心，它们与与 共面。已知共面。已知 。在。在 的联线上的联线上距距 为为 的的 点处分别放置点电荷点处分别放
20、置点电荷 ，在，在 处放置点电荷处放置点电荷 。并设法使。并设法使 不动。在导体球不动。在导体球外一点外一点 处放置一个电量为处放置一个电量为 的点电荷，的点电荷， 与与 共面并位于共面并位于 的延长线上且到的延长线上且到 的距离为的距离为 。 （20052005年全国中学生物理竞赛复赛题）年全国中学生物理竞赛复赛题） （1 1）求）求 的电势能。的电势能。 （2 2）将）将 释放，当重新达到释放，当重新达到 静电平衡时，各表面上的电荷静电平衡时，各表面上的电荷 分布有何变化？此时分布有何变化？此时 的电势能为多少？的电势能为多少？ROP2 21qq、321ooo、oR3q21qq、3q3qQ
21、oo3321qqq、3o321ooo、21oo、2321Roooooo 21oooo、P2ro21PP、rorrPRRro2o1o2P1P3orP唯一性定理、静电屏蔽应用唯一性定理、静电屏蔽应用 （1 1） 在在 处的合电势为处的合电势为0 0， 在在 处的合电势为：处的合电势为： 故故 处的电势包含两部分：处的电势包含两部分： 和和 在大在大球表面感应的电荷球表面感应的电荷 在球心在球心 产生的电势产生的电势 及及 在在 腔表面感应的电荷腔表面感应的电荷 在在 点产生的电点产生的电势势 。 （2 2）腔）腔 内壁无电荷分布，腔内壁无电荷分布，腔 内壁和球表内壁和球表面电荷分布不变。面电荷分布
22、不变。 的电势能也不变。的电势能也不变。3q321qqq、Q 321qqq oU 3O 3q U RQRqqq2413210 rqU3041 ）（UUqW 3321oo、3o3q 2211qqqq 、；、3O321qqqQ、3OOOOOOUl dEl dEl dEU 033O3OrrPRRro2o1o2P1P3or例例4解：解：（？），），且，且， UOU【例例5 5】点电荷点电荷q放在放在无限大接地导体平板上无限大接地导体平板上方方h处。求板面上的电荷分布。处。求板面上的电荷分布。hqo唯一性定理、静电屏蔽应用唯一性定理、静电屏蔽应用电像法介绍电像法介绍边界面内导体电量给定为边界面内导体电量
23、给定为q。板上方空间的电场分布是唯一的。板上方空间的电场分布是唯一的。U=0U =0hqo边界面电势给定边界面电势给定U=U =0，按静电唯一性定理：按静电唯一性定理：解：解：? E 上方空间和所求空间的上方空间和所求空间的边值条件（边值条件（U=U =0，q）相同。相同。由唯一性定理：由唯一性定理：上方空间电场，即为所求。上方空间电场，即为所求。U=0U =0hqh-q（q 的电象）的电象） 用用q的电象的电象q，代替接地板对上方代替接地板对上方空间电场的作用。空间电场的作用。 2322042haqhEp 232202haqhEpp U=0U =0hqh-qpapE 电象法本质：电象法本质：
24、用域外的象电荷来等效边界上用域外的象电荷来等效边界上的未知电荷对域内的影响，以简化计算。的未知电荷对域内的影响，以简化计算。封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场三、范德格拉夫起电机三、范德格拉夫起电机 （Van de Graaff generator）空气电离空气电离 封闭金属壳内外的静电场封闭金属壳内外的静电场四、库仑平方反比律的精确验证四、库仑平方反比律的精确验证 卡文迪许等做的间接验证库仑定律的实验。卡文迪许等做的间接验证库仑定律的实验。 卡文迪许：（卡文迪许：（17731773、1.981.982.022.02） 麦克斯韦（麦克斯韦（18701870， ） 普里姆顿等（普里姆顿
25、等（19361936， ） 成廉斯等（成廉斯等（19711971， ）5105 9102 1610)1 . 37 . 2 （电容器及其电容电容器及其电容一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容 一个带电孤立导体球的电势：一个带电孤立导体球的电势： RqU04 讨论讨论:(1) 与与 比值的特点比值的特点? (2) 物理含义物理含义? qU(3) 与一给定形状水桶容积比较与一给定形状水桶容积比较 . 电容器及其电容电容器及其电容 可以证明任意形状的孤立导体其电量与电可以证明任意形状的孤立导体其电量与电势之比为常数，即电量与电势成正比：势之比为常数，即电量与电势成正比： 比例常数比例常数 我们定义为孤
26、立导体的电容，我们定义为孤立导体的电容，表示导体电势升高一个单位所需要的电量。表示导体电势升高一个单位所需要的电量。 其国际制单位：法拉（其国际制单位：法拉（F F） CUq ）伏特（伏特（）库（库（）法拉（法拉（VCF11=1）皮皮法法（）微微法法（）法法拉拉（pFFF12610=10=1 C电容器及其电容电容器及其电容二、电容器及其电容器的电容二、电容器及其电容器的电容 在一个带电导体附近放入其它导体，这在一个带电导体附近放入其它导体，这个导体的电势就会受到影响，电势与电荷的个导体的电势就会受到影响，电势与电荷的正比关系就不存在。考虑能把静电场屏蔽在正比关系就不存在。考虑能把静电场屏蔽在一
27、定区域的装置，这种装置常常由两个导体一定区域的装置，这种装置常常由两个导体组成，我们叫组成，我们叫 电容器。电容器。 MN电容器及其电容电容器及其电容 可以证明这些装置中可以证明这些装置中一个一个导体上所带的导体上所带的电荷与两导体间的电荷与两导体间的电势差电势差之比为常数，同样之比为常数，同样我们把这个常数叫电容器的电容，它表示电我们把这个常数叫电容器的电容，它表示电容器能够有效储存电荷的能力，只与电容器容器能够有效储存电荷的能力，只与电容器的结构有关。的结构有关。最早的电容器最早的电容器叫莱顿瓶叫莱顿瓶. 常用的常用的电容器有电容器有: :球形电容器、平行板球形电容器、平行板电容器、和柱形
28、电容器。电容器、和柱形电容器。 电容器及其电容电容器及其电容 1 1、球形电容器结构、球形电容器结构 2 2、平行板电容器结构、平行板电容器结构 3 3、圆柱电容器结构、圆柱电容器结构）（圆圆柱柱形形1202=R/RlnLC 122104=RRRRC球形球形dSC0= 平行板平行板电容器及其电容电容器及其电容 证明球形电容器电容为证明球形电容器电容为: : 122104=RRRRC球形球形则球与球壳间的电场为则球与球壳间的电场为: r rQE204= 设球面上带电量为设球面上带电量为Q, 球与球壳间的电势差为球与球壳间的电势差为: ()21022214R-=d=RRQRrEURR 故球形电容器
29、电容为故球形电容器电容为:122104=RRRRC球形球形求解给定结构电容器电容的步骤求解给定结构电容器电容的步骤（1 1）假设一极板带电量为）假设一极板带电量为Q Q（2 2）求出两极板间电场分布）求出两极板间电场分布（3 3）由）由 求两极板间电势差求两极板间电势差（4 4）由定义）由定义 求求电容器电容电容器电容 BAABl dEVUQC =电容器及其电容电容器及其电容4 4、充电、放电、充电、放电 说明：一般地，任意两导体就组成一个电容，说明：一般地，任意两导体就组成一个电容，可以证明任意形状的电容器可以证明任意形状的电容器放电放电达到静电平衡时两达到静电平衡时两导体导体交换交换的电荷
30、电量与两导体的电荷电量与两导体充电充电后之间的后之间的电形差电形差之比是一个常数，这个常数就是该电容器的电容。之比是一个常数，这个常数就是该电容器的电容。电容器及其电容电容器及其电容三、电容器的连接三、电容器的连接 电容器组充电后流进的电量与其两端的电容器组充电后流进的电量与其两端的电压之比叫电容器组的等效电容。电压之比叫电容器组的等效电容。 nCCCC111121 nCCCC 212、串联、串联nQQQQ 21nQQQQ 21nUUUU=21nUUUU+=211、并联、并联电容器及其电容电容器及其电容）（、+1=+=3221121QUQUUUQUQC串联公式推导串联公式推导:?QQQQn=1
31、21、nUUUU+=221、)CC(+1+11=21nCCCC1+1+1=121所以，所以，例例 8080页页 2.3.42.3.4 空气平板电容器由两块相距为空气平板电容器由两块相距为0.5mm0.5mm的薄金属的薄金属板板A A、B B构成。将此电容器放在金属盒构成。将此电容器放在金属盒K K内，盒的上内，盒的上下两壁与下两壁与A A、B B分别相距分别相距0.25mm0.25mm。（1 1）从）从 两端测得的电容两端测得的电容 是原电容是原电容C C的几倍？的几倍？（2 2）将盒中电容器的一极板与盒连接，从）将盒中电容器的一极板与盒连接，从 两端测得的电容是两端测得的电容是C C的几倍？
32、的几倍？BA 、C BA 、A B ABK（1 1）等效图为右图，）等效图为右图，（2 2）等效电路图为右图，）等效电路图为右图，A B BAAKdd21B A BBAAKKdd21d21ABABdSC0 ABAKKBAKdSdSCC002 ABAKABBAdSCCC0221 ABAKABBAdSCCC03 A B ABK例例 8080页页 2.3.22.3.2 平板电容器两极板平板电容器两极板A A、B B的面积都是的面积都是S S，相距为，相距为 。在两板间平行放置一厚度为在两板间平行放置一厚度为 的中性金属板的中性金属板D D，则，则A A、B B仍可看作一个电容器的两极板。仍可看作一个
33、电容器的两极板。（1 1）求电容）求电容C C的表达式；的表达式；（2 2）金属板离极板的远近对电容）金属板离极板的远近对电容C C有无影响？有无影响？（3 3）设未放金属板时电容器的电容）设未放金属板时电容器的电容 ，两极，两极间的电势差为间的电势差为10V10V，A A、B B不与外电路连接，求放入厚不与外电路连接，求放入厚度度 的金属板后的电容的金属板后的电容C C及两极板间的电势差及两极板间的电势差U U。dtFC 6000 4/dt dtSABD（略去边缘效应）（略去边缘效应）例例 8080页页 2.3.22.3.2解解：（：（1 1）法）法1 1 法法2 2，设极板上面电荷密度为，
34、设极板上面电荷密度为 ，则，则 xtdSCAD 0 xSCDB0 tdSCCCDBAD 0/1/1/1 ）（0 00 E tdSQtdEVAB 00 tdSVQCAB 00 dtSABDx例例 8080页页 2.3.22.3.2 （2 2）由）由C C的表达式知的表达式知 对对C C没有影响没有影响 （3 3）未放金属板时，）未放金属板时， ，放金属板后，放金属板后极板上电荷不变极板上电荷不变dSC00 FCtdSC 8003400 VCCVCQVABAB5 . 700 dtSABDxx静电演示仪器静电演示仪器一、验电器一、验电器 主要部分是一根上端带有金属小球的主要部分是一根上端带有金属小球
35、的金属棒，棒的下端悬挂着两片金属箔片。金属棒，棒的下端悬挂着两片金属箔片。静电演示仪器静电演示仪器二、静电计二、静电计 将验电器进行如下改进：将验电器进行如下改进： 1 1、把玻璃瓶改为金属盒、以便静电屏蔽。、把玻璃瓶改为金属盒、以便静电屏蔽。 2 2、从金属棒和盒各引出一条导线，以便测量两点间、从金属棒和盒各引出一条导线，以便测量两点间的电压。的电压。 3 3、增加刻度，以便测量读数。、增加刻度，以便测量读数。 利用导体表面静电荷在静电场中所受的力使利用导体表面静电荷在静电场中所受的力使指针偏转。金属棒与盒之间电势差越大，电场越大，因指针偏转。金属棒与盒之间电势差越大，电场越大，因此可以用静
36、电计测量电势差或电势（盒接地）。此可以用静电计测量电势差或电势（盒接地）。 原理：原理： 静电演示仪器静电演示仪器三、感应起电机三、感应起电机感应起电机原理感应起电机原理整体带电整体带电 整体不带电整体不带电作作 业业1 1、8080页，习题页，习题2.3.52.3.5题题2 2、7979页，习题页，习题2.2.22.2.2、 2.2.42.2.4题题4 4、8181页，习题页，习题2.5.12.5.1带电体系的静电能带电体系的静电能一、几个概念一、几个概念 做功与路径无关，而只取决于运动的始末做功与路径无关，而只取决于运动的始末位置的场叫势场。如，重力场和静电场。位置的场叫势场。如，重力场和
37、静电场。 若一矢量沿空间任意闭合曲线的环流为零，则若一矢量沿空间任意闭合曲线的环流为零，则该矢量场为有势场。该矢量场为有势场。 在有势场中，研究对象从场中某点在有势场中，研究对象从场中某点P P运动到运动到选定的势能零点时，场力做的功叫研究对象在选定的势能零点时，场力做的功叫研究对象在P P点点的势能。场力做正功势能减少。的势能。场力做正功势能减少。 点电荷点电荷 在静电场中某点在静电场中某点P P具有具有的静电能等于将该点电荷从的静电能等于将该点电荷从P P点移动到零势能位置点移动到零势能位置电场力所做的功（或外力克服电场力将点电荷从无电场力所做的功（或外力克服电场力将点电荷从无限远移动到限
38、远移动到P P点外力做的功）即：点外力做的功）即： 。这个功即为。这个功即为该点电荷在该点电荷在P P点的静电势能，简称静电能。点的静电势能，简称静电能。PqUq1、势场：势场：2、势能：势能：3、点电荷的静电能：点电荷的静电能：带电体系的静电能带电体系的静电能二、几点说明二、几点说明1 1、静电能与电势的关系、静电能与电势的关系 若静电场中某点若静电场中某点P P的电势为的电势为 ，则点电荷，则点电荷 在在P P点点的静电能为的静电能为 。2 2、不同的点电荷在空间中同一点的静电能不同，从、不同的点电荷在空间中同一点的静电能不同，从这个意义上说，静电能不由空间点唯一确定，不是这个意义上说，静
39、电能不由空间点唯一确定，不是空间点函数；而电势是空间点函数。空间点函数；而电势是空间点函数。3 3、点电荷、点电荷 在空间中某点的静电能不但与在空间中某点的静电能不但与 有关，有关，而且与产生静电场的电荷而且与产生静电场的电荷 有关，所以我们说静电有关，所以我们说静电能是能是 和和 组成的体系共同所有。组成的体系共同所有。PUqqPqUQQqq【例例】氢原子中电子的静电势能氢原子中电子的静电势能“电子与电场（质子）的相互作用能电子与电场（质子）的相互作用能”原子核（质子）的电势：原子核（质子）的电势：rerU04)( 电子的静电势能：电子的静电势能：rerUeW024)()( 带电体系的静电能
40、带电体系的静电能三、带电体系的静电能三、带电体系的静电能 考虑两个点电荷考虑两个点电荷 组成的系统以及这一系组成的系统以及这一系统所处的两状态：（统所处的两状态：（1 1） 分别静止于分别静止于1 1、2 2两点；两点；（2 2） 分别静止于分别静止于 两点。两点。 我们约定我们约定 处于无限远离的状态时系统静处于无限远离的状态时系统静电能为零，则体系处于某状态时的静电能为将电能为零，则体系处于某状态时的静电能为将 移动到无限远时电场力所做的功。且体系从（移动到无限远时电场力所做的功。且体系从（1 1）状态逐渐运动到（状态逐渐运动到（2 2）状态，电场力做的功为体系）状态，电场力做的功为体系两
41、状态中的静电能之差，静电力做正功，静电势能两状态中的静电能之差，静电力做正功，静电势能减少。减少。21qq、21 、21qq、21qq、21qq、21qq、带电体系的静电能带电体系的静电能1 1、自能、互能、自能、互能 对于由一个点电荷组成的体系，将其看成对于由一个点电荷组成的体系，将其看成一个由无限多个小块构成的体系，设想将这些小块一个由无限多个小块构成的体系，设想将这些小块分开并静止于无限远，它们之间的静电场力做的功分开并静止于无限远，它们之间的静电场力做的功叫点电荷的叫点电荷的自能自能。 而将相距一定距离的两个点电荷移至相距而将相距一定距离的两个点电荷移至相距无限远它们之间的静电场力做的
42、功叫两点电荷之间无限远它们之间的静电场力做的功叫两点电荷之间的的互能互能。自能：自能：互能：互能：带电体系的静电能带电体系的静电能2、点电荷体系的互能、点电荷体系的互能其中其中Vi 为为 qi 所在处，由所在处，由 qi 以外的以外的其它电荷其它电荷所所产生的电势。产生的电势。 把把 n n 个静止点电荷从现有位置彼此分散个静止点电荷从现有位置彼此分散到无穷远时，它们间的静电力所作的功，称到无穷远时，它们间的静电力所作的功，称为这为这 n n 个点电荷间的互能个点电荷间的互能iniiVqW 121证明：证明：（1）、）、n=2rqqrrqqWr02120214d4 固定固定q q1 1，把，把
43、q q2 2移到无限远电场力做的功移到无限远电场力做的功rqVrqV0210124,4 221121VqVqW 写成对称形式即写成对称形式即q2q1r1122qVqVW （2）n=3q3q2q1 11333133222322111221qVqVqVqVqVqVW 类推，得类推，得iniiVqW 121 33231223211131221qVVqVVqVV 33221121qVqVqV 式中式中V为在带电体上，所有电荷在电荷元为在带电体上，所有电荷在电荷元dq 处的电势。处的电势。4、连续分布的电荷体系的静电能、连续分布的电荷体系的静电能 各电荷元间的静电相互作用能各电荷元间的静电相互作用能（带
44、电体）（带电体）qVWd21带电体系的静电能带电体系的静电能5 5、带电、带电导体导体组的静电能组的静电能6 6、电容器的静电能、电容器的静电能2002212121CUQUCQqdqCudqAQQ niiiUQW121 电场力做功为体系两状态中的静电能之差，故电场力做功为体系两状态中的静电能之差，故电容器的静电能表示把电荷从一板搬到另一板过程电容器的静电能表示把电荷从一板搬到另一板过程中电场力做的总功：中电场力做的总功：221=CUA体系静电能体系静电能 = = 相互作用能相互作用能自能自能7、连续带电体体系的、连续带电体体系的静电能静电能体系体系Q1Q2Q38、静电场的能量静电场的能量均匀带
45、电球面的静电能均匀带电球面的静电能: : )(d21球球面面qUWRq静电能贮存在电场中静电能贮存在电场中Ein = 0VeVwW d在区域在区域V V 中电场的能量：中电场的能量：在真空中电场能量密度：在真空中电场能量密度：220Ewe 静电能贮存在哪儿？静电能贮存在哪儿？E = 0 )(0d421球球面面qRq Rq028 RqW028 RRqWd8d202 用特例说明：用特例说明：VWwedd 电场的能量密度：电场的能量密度：RqW028 设电斥力作用设电斥力作用 R R+dR球壳球壳 (R,R+dR)内的静电能内的静电能 减少的静电能：减少的静电能：RqdR242202200ERq R
46、RRRqd4d82202 Rq【例例】对场能积分求均匀带电球对场能积分求均匀带电球体的静电能。体的静电能。drrRqrrrqrrRqrVEVERRRrRr000002010203442442d2d22d222d223022 qqrUWd)(21与与相同相同VwWed 全全空空间间dV例例 7878页，习题页，习题2.1.32.1.3题题 三块平行金属板三块平行金属板A A、B B、C C构成平行板导体构成平行板导体组。组。S S代表各板面积，代表各板面积，x x及及d d分别代表分别代表A A、B B之间之间和和B B、C C之间的距离。设之间的距离。设d d小到可视小到可视A A、B B、C
47、 C为无为无限大平板。令限大平板。令B B、C C板接地，板接地，A A板电荷为板电荷为Q Q，略去，略去A A板的厚度，板的厚度， （1 1）B B、C C板上的感应电荷板上的感应电荷 （2 2）空间的场强及电势分布。）空间的场强及电势分布。xdIIIIIIIVABC2 3 4 5 6 1 ne求：求：例例 7878页，习题页，习题2.1.32.1.3题题解解：（：（1 1）nennIIeeE0302 nnIIIeeE0504 xexEVnIIAB03 ）（）（xdexdEVnIIIAC 04 有，有，由由ACABVV ）（xdx 0403 xdIIIIIIIVABC2 3 4 5 6 1
48、0 IVIEE例例 7878页，习题页，习题2.1.32.1.3题解题解 各面电荷密度关系为：各面电荷密度关系为：5432 、061 34 SQ）（xdx 0403 QSdxQSdxd=543 -、联联立立解解得得，QdxqqQddxqqCB 52、所所以以，xdIIIIIIIVABC2 3 4 5 6 1 例例 78页，习题页，习题2.1.3题解题解（2 2）各区域场强分布为：）各区域场强分布为：（3 3）各区域的电势为：）各区域的电势为：0IVIEEnnIIeQdSdxeE002 nnIIIeQdSxeE004 0 IVIVV rxQdSdxerxeVnnIIP 002 ）（ rxdQdS
49、xVIIIP 0 xdIIIIIIIVABC2 3 4 5 6 1 nePrPr例例 7979页页 2.2.32.2.3 半径为半径为 的金属球的金属球A A外罩一同心金属球壳外罩一同心金属球壳B B，球壳极薄，球壳极薄，内外半径都可看成内外半径都可看成 。已知。已知A A、B B的电荷分别为的电荷分别为 和和 ，（1 1）求）求A A的表面的表面 及及B B的内外表面的内外表面 的电荷的电荷（2 2）求）求A A和和B B的电势的电势 和和（3 3）将球壳）将球壳B B接地，再回答（接地，再回答（1 1）、（）、（2 2）（4 4）在（）在（2 2）问之后将球）问之后将球A A接地，再接地，
50、再 回答（回答（1 1）、（）、（2 2）两问）两问（5 5）在（）在（2 2）问之后在）问之后在B B外在罩外在罩 一个很薄的同心金属球壳一个很薄的同心金属球壳C C（半径为（半径为 ），再回答（），再回答（1 1）、）、（2 2）两问，并求）两问，并求C C的电势的电势 。ARBRAQBQ1S32SS 、321qqq、AVBVCRCV1S2S3SABC例例 7979页页 2.2.32.2.3解解（1 1）（2 2）A A的电势有两种方法的电势有两种方法 法法1 1、A A为等势体，其电势可用为等势体，其电势可用A A球心电势表示，即：球心电势表示，即： AQq 11S2S3SAB1234A
51、Qq 2BAQQq 3410BBABAAAARQQRQRQV ）（ ）（BBAARQRQ 041例例 7979页页 2.2.32.2.3解解（2 2）A A的电势有两种方法的电势有两种方法 法法2 2、 同理：同理：01 E2024rQEA 2044rQQEBA 03 E）（ BBARBARRAAdrrQQdrrQV22041 BRBABdrrQQV20411S2S3SAB1234）（BBAARQRQ 041BBARQQ 041 例例 7979页页 2.2.32.2.3解解（3 3）当）当B B接地时，接地时，（？）、0321 qQqQqAA）（BAAARRQV1140 0 BV01 E202
52、4rQEA 04 E03 E1S2S3SAB1234例例 7979页页 2.2.32.2.3解解（4 4）当）当A A接地时，接地时，（？）、设设：AAQqQq 2101 E2024rQEA 2044rQQEBA 03 E0410 ）（BBAAARQRQV BBAAQRRQq 2 200441BABBBBABRRRQRQQV （5 5）略）略ABQQq 3BBAAQRRQq 1 ABBBABRRRQQQq 31S2S3SAB1234【例例】电偶极子在均匀外电场中的电势能电偶极子在均匀外电场中的电势能 WWWEpW , （受力矩：（受力矩： ）EpM EpW -qE l+ql qp 证明：证明：
53、 cosdEllEUU qUqU UUq 将各点的电势看成由体电荷密度为将各点的电势看成由体电荷密度为 和和 的实心均匀带电球体的实心均匀带电球体 贡献。贡献。由电势的叠加性有：由电势的叠加性有：abOOMPce OO 、生生的的电电场场为为：均均匀匀带带电电体体在在球球内内外外产产MMMrarQV03034 crbVMM 033 crbraVMMM3303 （A）作业、作业、4242页、页、1.6.61.6.6rerRErE203033 外外内内、abOOMPce aarPrdErdEVP外外内内 crbVPP 033 crbraVMPP3220236 （B） 22020303633Paar
54、radrradrrP rerRErE203033 外外内内、abOOMPce（C C）0202 ardErdEVaao 外外内内0202 brdErdEVbbo 外外内内 22036caVo 22036cbrdErdEVbbco 外外内内 2220336cbbVo 2220336cbbVo rerRErE203033 外外内内、例例 7777页，思考题页，思考题2.52.5题题 将带正电导体将带正电导体M M置于中性导体置于中性导体N N附近，附近，两者表面的电荷都要重新分布。是否可能两者表面的电荷都要重新分布。是否可能出现这样的情况即每个导体表面都既有正出现这样的情况即每个导体表面都既有正电
55、荷又有负电荷？电荷又有负电荷？MN例例 7777页，思考题页，思考题2.52.5题解题解MN1、假设、假设M、N等电势。等电势。2、假设、假设M电势比电势比N电势低。电势低。3、假设、假设M电势比电势比N电势高。电势高。N电中性，则电中性，则N上必同时有正电荷和负电荷分布区域上必同时有正电荷和负电荷分布区域M带正电，则带正电，则M上必有正电荷分布区域上必有正电荷分布区域不可能不可能不可能不可能例例 78787979页页 2.1.42.1.4 把带电金属平板把带电金属平板A移近一块长、宽均与移近一块长、宽均与A相等的中性金相等的中性金属平板属平板B，并使两板互相正对。设，并使两板互相正对。设A板
56、电荷为板电荷为 ，两板面积，两板面积各为各为 ，距离为，距离为 ，忽略边缘效应，求两板的电势，忽略边缘效应，求两板的电势差。若将差。若将B接地，结果又如何？接地，结果又如何？ 解：解：AqS SddSqSqqABA2241 SqSqqABA2232 nAneSqeE0022 间的电场：间的电场：两板两板SdqdEVAAB02 两板间的电势差：两板间的电势差：SdqVSqESqBAAA0032410 、板板接接地地时时：当当dAqAB1 2 3 4 Sne【例例】面电荷密度为面电荷密度为 0 的无限大绝缘板旁，有一的无限大绝缘板旁，有一无限大的原不带电的导体无限大的原不带电的导体平板。求静电平衡
57、后导体平板。求静电平衡后导体板两表面的面电荷密度。板两表面的面电荷密度。 解解. .设导体板两表面电荷密度为设导体板两表面电荷密度为 1 和和 2电荷守恒：电荷守恒： 1 + 2 = 0静电平衡条件：静电平衡条件：E0+ +E1- -E2 = = 0 0/(2 0) + 1/(2 0) 2/(2 0) = 0 1 2= 0结果结果： 1 = 0 /2 2 = 0 /2 1 1 2 2 E0E2E1【例例】带电导体球带电导体球A与带电导体球壳与带电导体球壳B同心，求同心，求（1）各表面电荷分布各表面电荷分布（2）导体球导体球A的电势的电势UA（3）将将B接地，各表面电荷分布。接地，各表面电荷分布
58、。（4）将将B的地线拆掉后，再将的地线拆掉后，再将A接地时各表接地时各表面电荷分布。面电荷分布。R3R2R1BAqQA 表面表面: :q解解. .（1）求）求表面电荷表面电荷（2）求）求A的电势的电势UA三层均匀带电球面三层均匀带电球面, ,电势叠加电势叠加302010444RqQRqRqUA R3R2R1BAqQB 内表面内表面: :B 外表面外表面: :Q + +q-q-qQ +qB B 内表面：内表面：- -q qA A 表面：表面： q q （3）B 接地接地, , 求求表面电荷。表面电荷。B B 外表面：外表面：无电荷无电荷0430 RqUBB 外外BqA-qBR30 BU接地结果：
59、接地结果：（4）B的接地线拆掉的接地线拆掉, ,再将再将A接地接地, , 求求表面电荷。表面电荷。设设A表面表面电荷为电荷为q 则则B B 内表面：内表面：- -q q B B 外表面：外表面：- -q q + +q q 0444302010 RqqRqRqUA 可解出可解出 q q ( ( q q) ) 。BAq-q-q+qUA=0UA= 0 就一般情况就一般情况“给定一些导体的电势和其余导给定一些导体的电势和其余导体的电量体的电量”证明。证明。假设存在两个解：假设存在两个解：UU ,即电场的分布唯一确定。即电场的分布唯一确定。 如果能证明如果能证明UU 则则EE 常数，常数， nUUQUU
60、SSIII2,0或给定给定 或或 SUnU S给定给定导体导体U导体导体给定给定Q自由空间：自由空间：E=?n S补充：补充：静电场唯一性定理的证明静电场唯一性定理的证明静电边值问题：静电边值问题：把导体把导体的电荷条件变换成电势条件的电荷条件变换成电势条件 SQsEd0 S其中其中 代表代表导体导体的外表面。的外表面。 SQsnUd0 得电势条件：得电势条件： nUUQsnUUUSSS0I2,d,0或 静电边值问题改写成：静电边值问题改写成：给定给定 或或 SUnU S给定给定导体导体U导体导体给定给定QSn n SQsnUd0 nUnUUUQsnUUUUSSSSS02,d,0II或 nUn
61、UUUQsnUUUUSSSSS02,d,0II或 设存在两个解：设存在两个解： 和和 U U ，令，令UUU * 00,0d, 00S*S*2nUUsnUUUS或常常数数 UUU*如果如果 ，则电场分布唯一。，则电场分布唯一。 1 1、先证明下式成立、先证明下式成立 sUUVUVdd*2* V 其中其中 代表任意封闭面代表任意封闭面 包围的自由空间体积。包围的自由空间体积。 00,0d, 00S*S*2nUUsnUUUS或关于关于 的边值问题的边值问题:*U （ 向外为正）向外为正） 2*2*UUUUUUUA sAVAVdd 高斯定理（数学）：高斯定理（数学）： *UUA 设：设： sUUVUVdd*2* 即得：即得：常常数数 UUU*2 2、再证明、再证明 零零 sUUVUVdd*2* sUUVUVdd*2* sUUsUUsUUVUVUVUSSSSSVVVdddddd*2*2*2* S导体导体导体导体SSVV n n n 导体导体界面界面导体导体界面界面 snUUsUUsnUUSSSSSddd* 00,0d, 00S*S*2nUUsnUUUS或 sUUsUUsUUVUSSSSSVdddd*2* 原体系的电场分布是唯一的。原体系的电场分布是唯一的。证毕。证毕。,0* U常常数数 UUU*所以所以 即即 ， 等势等势0
