第二章 模糊控制的数学基础
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1、第二章第二章 模糊控制的数学基础模糊控制的数学基础College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.22.1 概述概述v 模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。v “模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。 “精确”：“老师”、“学生”、“工人” “模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”
2、v 模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.32.2 普通集合普通集合* 集合 具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如： “湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，Z来表示。* 元素 组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，z来表示。* 论域 所研究的全部对象的总和，叫做论域，也
3、叫全集合。* 空集 不包含任何元素的集合，称为空集，记做。* 子集 集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。1）集合的概念 若元素 a 是集合 A 的元素，则称元素 a 属于集合 A ，记为aA；反之，称a不属于集合A，记做 。Aa* 属于*包含BA AB 若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为 ；或者集合B包含集合A，记为 。BA AB 对于两个集合A和B，如果 和 同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集 如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。College of Electrical and In
4、formation Engineering, Hunan Univ.42）集合的表示法 将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为 A=10，12，14，16，18，20* 表征法 表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。 上例中的集合A也可用表征法表示为A=a|a为偶数，10a 202.2 普通集合普通集合* 列举法College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.5* 集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集
5、合P称为X，Y的交集，记作P=XY * 集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=XY * 集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为|XxxX3）集合的运算 2.2 普通集合普通集合College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.6具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。 * 集合的直积 设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为,| ),(YyXxyxYX4） 集合的特征函数设x为论域X中的元素， A为论域X中定义的一个集合，则
6、x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是0，1，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即Ax 0,Ax ,xA1)(2.2 普通集合普通集合College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.7(1)模糊集合的定义： 5 . 0)30(A2.3 2.3 模糊集合模糊集合 35255251125151)(2xxxxA例例2.3.1 2.3.1 论域为论域为1515到到3535岁之间的人，模糊集岁之间的人，模糊集 表示表示“年轻人年轻人”，则模糊集，则模糊集的
7、隶属函数可定义为的隶属函数可定义为则年龄为则年龄为3030岁的人属于岁的人属于“年轻人年轻人”的程度为：的程度为：A)(xA给定论域给定论域E E中的一个模糊集中的一个模糊集 ，是指任意元素，是指任意元素xExE，都不同程度地属于这个，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 00，11来表示。来表示。College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.8(2) 模糊集合的表示法：1） Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：
8、nnAAAxxxxxxA)()()(2211注意：式中的“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。 例2.3.2 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为 高个子17888. 01809 . 017585. 016578. 01728 . 0 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.92）序偶表
9、示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为： )(,)(,)(,2211nAnAAxxxxxxA，（，（或简化为： ），（)()()(21nAAAxxxA对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为 高个子)88. 0 ,178(),9 . 0 ,180(),85. 0 ,175(),78. 0 ,165(),8 . 0 ,172(或 高个子88. 0 , 9 . 0 ,85. 0 ,78. 0 , 8 . 02.3 2.3 模糊集合模糊集合 College of Electrical and Information Engineering, Hunan Un
10、iv.103）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。 假设年龄的论域为U=15，35，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为： 35255251125151)(2xxxx年轻该隶属函数的形状如图 152535x）（年轻x012.3 2.3 模糊集合模糊集合 College of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.11（3) 模糊集合的运算 模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。 假设A和B为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为)(xA)(xB和n 模糊集交)()()(xxxBACn 模糊集并)()
11、()(xxxBADn 模糊集补A)(1)(xxAAn 相等若Ux，总有)()(xxBA成立，则称A和B相等，记作BA 。 n 包含若Ux，总有)()(xxBA成立，则称A包含B，记作。 BA 2.3 2.3 模糊集合模糊集合 BACBADCollege of Electrical and Information Engineering, Hunan Univ.12例2.3.3：设论域U=a, b, c, d, e上有两个模糊集分别为： edcbaA1 . 02 . 04 . 03 . 05 . 0edcbaB4 . 07 . 01 . 08 . 02 . 0求 BABAAedcbaBA4 .
