线性规划模型-灵敏度分析

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1、第三章 线性规划模型 引引 言言 实例实例加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划 线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型 求解线性规划问题的图解法求解线性规划问题的图解法 用用LingoLingo软件求解线性规划问题软件求解线性规划问题 线性规划问题的线性规划问题的灵灵敏度分析敏度分析 线性规划（线性规划（Linear Programming）是数学）是数学规划的一个重要分支规划的一个重要分支, , 历史比较悠久历史比较悠久, , 理论比理论比较成熟较成熟, , 方法较为完善。线性规划的思想最早方法较为完善。线性规划的思想最早可以追溯到可以追溯到19391939年年, , 当时的苏联数

2、学家、经济当时的苏联数学家、经济学家学家 L. V. KantorovichL. V. Kantorovich （康特罗维奇）在（康特罗维奇）在生产组织与计划中的数学方法生产组织与计划中的数学方法一书中提出一书中提出了类似线性规划的模型了类似线性规划的模型, , 以解决下料问题和运以解决下料问题和运输问题输问题, , 并给出了并给出了“解决乘数法解决乘数法”的求解方法。的求解方法。然而然而, , 他的工作长期未被人们知道。他的工作长期未被人们知道。引引 言言引引 言言 由于战争的需要由于战争的需要, , 美国的经济学家美国的经济学家T. C. T. C. KoopmansKoopmans (

3、(库普曼斯库普曼斯) ) 重新独立的研究运输问重新独立的研究运输问题题, , 并很快看到了线性规划在经济学中应用的并很快看到了线性规划在经济学中应用的意义意义. . 在这之后在这之后, , 线性规划也被人们广泛地用线性规划也被人们广泛地用于军事、经济等各方面。于军事、经济等各方面。 由于由于KantorovichKantorovich 和和 KoopmansKoopmans在这方面在这方面的突出贡献的突出贡献, ,他们一起得到他们一起得到19751975年诺贝尔经济年诺贝尔经济学奖。学奖。 为更好地理解线性规划所描述的问题，为更好地理解线性规划所描述的问题，我们先看一个例子。我们先看一个例子。

4、例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克A2 或或获利获利24元元/千克千克获利获利16元元/千克千克50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100千克千克A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大? ? 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划？千克，应否改变生产计划？ 每天：每

5、天：1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克A2 或或获利获利24元元/千克千克获利获利16元元/千克千克x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100千克千克A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天model: ma

6、x=72*x1+64*x2; x1+x2=50; 12*x1+8*x2=480; 3*x1=100;end用用Lingo软件求解线性规划问题软件求解线性规划问题. 0, 0100348081250. .6472max211212121xxxxxxxtsxx模型模型LingoLingo语句语句模型开始模型开始目标函数求极大目标函数求极大约束条件约束条件（无非负限制）（无非负限制）模型结束模型结束Lingo软件包是由美国LINDO系统公司 研制开发的，是用于求解大型数学规划问题的软件包。求解20桶牛奶生产桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 LingoLingo软件的

7、计算结果软件的计算结果 Global optimal solution found at step: 2 Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.0000000 X2 30.00000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.0000000 48.00000 3 0.0000000 2.000000 4 40.00000 0.0000000结果解释结果解释 Objective value: 3360.000V

8、ariable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.0000000 X2 30.00000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.0000000 48.00000 3 0.0000000 2.000000 4 40.00000 0.0000000原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） . 0, 0100348081250. .6472max211

9、212121xxxxxxxt sxx结果解释结果解释 在最优解下，在最优解下，“资源资源”增增加加1单位时，单位时，“效益效益”的的增量增量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！Objective value: 3360.000Variable Value Reduced Cost X1 20.0

10、0000 0.0000000 X2 30.00000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.0000000 48.00000 3 0.0000000 2.000000 4 40.00000 0.0000000Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient Ranges Current Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.0

11、0000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000最优基不变时目标函数系数允许变化范围最优基不变时目标函数系数允许变化范围 灵敏度分析灵敏度分析 x1系数范围系数范围(64,96) x2系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加