高等数学 1-6极限准则、重要极限

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1、一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则1.6 1.6 极限存在准则及两个重要极限 第一章第一章 二、二、 两个重要极限两个重要极限 azynnnnlimlim)2(1. (准则准则1)夹逼准则夹逼准则),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0,1N1,nN :nya取取,max21NNN nN , 恒有恒有()naya()nazannnzxya a则则,axn故故 .limaxnn,2N,0则则三、数列存在极限的两个准则三、数列存在极限的两个准则2,nN :nza例例1. 证明证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准

2、则 .nnnnn222121122nnn22nn且且22limnnnn1lim1nn122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 )121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab例例2. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在 . (证明见证明见P53P54)令证令证:nnnx)1 (11111 (1) (1)(1)nnn 111(1)1nnnn11111nnxn1(1)nnnx1(

3、1) ,(2).nnnyn同理可证同理可证21(1)1,(2).nnnnx yn2114,(2).nnxnyy且有上界且有上界.根据准则根据准则 2 可知数列可知数列nx记此极限为记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为无理数为无理数 , 其值为其值为590457182818284. 2e即即有极限有极限 .例例2. 设设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列证明数列nx极限存在极限存在 . (证明见证明见P53P54) 一般形式一般形式exxx)1(lim111ln(1)(0)nnxxx例例3求求:11(1).lim;(2).limnnnnnnnx xxxx1ln(1)n+

4、nnx=+xx则ln(1)(0)xxx解因:(1).所以所以xn单调递减单调递减; 又又0,nx 所以有下界所以有下界.lim,nnx所以存在设为设为a (0)1ln(1)n+nx=+x的两边取极限得:ln(1)a=+a则则a=0. 否则否则ln 1a=+aa（）矛盾矛盾.,nxt11(2).limnnnnnx xxx0ln(1)limln(1)ttttt记记则上式则上式=ln(1)limln(1)nnnnnxxxx=2112,2,nnxxx例例4.4. 证证: :证明数列证明数列极限存在极限存在,并求之并求之.12222xx1kkxx假设假设11222kkkkxxxx1nk时时,则则 nx单

5、调递增单调递增;122,x 假设假设(1)先证单调性先证单调性:(2)再证有界性再证有界性:2kx 12222kkxx1nk时时,所以所以 nx单调递增且有上界单调递增且有上界,所以极限存在所以极限存在.(3)求极限求极限:12nnxx得得212nnxxlimnnxa设设由由两边取极限得两边取极限得22aa解得解得2a (舍去负的舍去负的).准则准则10(,),xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0(0)xX()x ()x ()x 一、一、 极限存在的两个准则极限存在的两个准则(夹逼准则夹逼准则)azynnnnlimlim)2(准则准则