中考数学第二轮复习(6) 探索性问题(含答案).doc
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2022-06-28 16:31:48上传
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中考数学第二轮复****6)_探索性问题(含答案).doc第二轮复****三探索性问题
I、综合问题精讲：
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型.探 索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题.条件 探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不 唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题 是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目•
探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知 识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角 形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等.其中用儿何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解 决问题的主要手段和途径.因此复****中既要重视基础知识的复****又要加强变式训练和数学思想方法的研 究，切实提高分析问题、解决问题的能力.
II、典型例题剖析
连结PB并延长
S、R.
CDEF的顶点C、 其面积为&
【例1】如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A（0, 1）,矩形
F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0, 2）,且
（1）求此抛物线的解析式；
⑵如图2-6-2,若P点为抛物线上不同于A的」点，
交抛物线于点Q,过点P、Q分别作X轴的垂线，垂足分别为
求证：PB = PS；
判断ASBR的形状；
试探索在线段SR上是否存在点使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三 角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由.
⑴解：方法一:VB点坐标为（0, 2）, .-.0B = 2,
•.•矩形CDEF面积为8,.・.CF=4.
•°.C点坐标为（一 2, 2）. F点坐标为（2, 2） „
设抛物线的解析式为y = ax2 +bx + c.
其过三点 A(0, 1), C(-2. 2), F(2, 2)o
得彳 2 = 4a - 2b + c
解得= 1
2 = 4a + 2b + c
•••此抛物线的解析式为尸存+1
方法二:VB点坐标为（0, 2）, .\0B = 2,
•.•矩形 CDEF 面积为 8, ...CF=4.
.••C点坐标为（一 2, 2）。根据题意可设抛物线解析式为y = a/ +。。 其过点 A（0, 1）和 C（-2. 2）
= c= 4a + c
解得“討1
此抛物线解析式为y=£"+i
⑵解：
过点B作BN丄BS,垂足为N.
VP点在抛物线y=\'+l上.可设P点坐标为（心丄fl2 +1）. PS = |«2 + 1, 0B = NS = 2, BN= a o
PN=PS—NS=J_a：-l 在 Rt PNB 中.
4
p^-=PN- +BN2 =(*2_l)：+a： =£/+])：
.•.PB=PS = t"+1
根据①同理可知BQ = QRO
Z1 = Z2 ,
又 T Z1 = Z3 ,
Z2 - Z3 ,
同理 ZSBP=ZB
2Z5 + 2Z3 = 180°
Z5 + Z3 = 90° ZSBR = 90°.
ASBR为直角三角形.
方法一：^PS =b,QR = c ,
•••由①知 PS = PB = b. QR = QB = c, PQ=b + c。:. SR2 =(b + cf -(b-cf
SR = 2jZ齐。假设存在点 M.且 MS=x ,别 MR=2 顷-x。若使△PSMsZ\mrq,
则有 2 = - x。即 乂2 _ 2y[bcx + bc -0
X c
x1 = x2 = 4bc o SR=2 y[bc
AM为SR的中点.若使△ PSM^AQRM,
c14bc -x
.2b4bc
• • X = o
b + c
.MR _2賦-* _ 2 页 [_c _QB _RO
"~MS~ x- 2b4bc ~~b~~BP~~OS°
b + c
•••M点即为原点0。
综上所述，当点M为SR的中点时.zXPSMsAMRQ；当点M为原点时，△PSMs/\mrq.
方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，
T APSM = ZMRQ = 90°，
有△ PSMs △ MRQ 和△ PSMs AQRM 两种情况。
当厶PSM^ AMRQ 时.Z SPM= Z RMQ, Z SMP= ZRQM.
由直角三角形两锐角互余性质.知
I、综合问题精讲：
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型.探 索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题.条件 探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不 唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题 是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目•
探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知 识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角 形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等.其中用儿何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解 决问题的主要手段和途径.因此复****中既要重视基础知识的复****又要加强变式训练和数学思想方法的研 究，切实提高分析问题、解决问题的能力.
II、典型例题剖析
连结PB并延长
S、R.
CDEF的顶点C、 其面积为&
【例1】如图2-6-1,已知抛物线的顶点为A（0, 1）,矩形
F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0, 2）,且
（1）求此抛物线的解析式；
⑵如图2-6-2,若P点为抛物线上不同于A的」点，
交抛物线于点Q,过点P、Q分别作X轴的垂线，垂足分别为
求证：PB = PS；
判断ASBR的形状；
试探索在线段SR上是否存在点使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三 角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由.
⑴解：方法一:VB点坐标为（0, 2）, .-.0B = 2,
•.•矩形CDEF面积为8,.・.CF=4.
•°.C点坐标为（一 2, 2）. F点坐标为（2, 2） „
设抛物线的解析式为y = ax2 +bx + c.
其过三点 A(0, 1), C(-2. 2), F(2, 2)o
得彳 2 = 4a - 2b + c
解得= 1
2 = 4a + 2b + c
•••此抛物线的解析式为尸存+1
方法二:VB点坐标为（0, 2）, .\0B = 2,
•.•矩形 CDEF 面积为 8, ...CF=4.
.••C点坐标为（一 2, 2）。根据题意可设抛物线解析式为y = a/ +。。 其过点 A（0, 1）和 C（-2. 2）
= c= 4a + c
解得“討1
此抛物线解析式为y=£"+i
⑵解：
过点B作BN丄BS,垂足为N.
VP点在抛物线y=\'+l上.可设P点坐标为（心丄fl2 +1）. PS = |«2 + 1, 0B = NS = 2, BN= a o
PN=PS—NS=J_a：-l 在 Rt PNB 中.
4
p^-=PN- +BN2 =(*2_l)：+a： =£/+])：
.•.PB=PS = t"+1
根据①同理可知BQ = QRO
Z1 = Z2 ,
又 T Z1 = Z3 ,
Z2 - Z3 ,
同理 ZSBP=ZB
2Z5 + 2Z3 = 180°
Z5 + Z3 = 90° ZSBR = 90°.
ASBR为直角三角形.
方法一：^PS =b,QR = c ,
•••由①知 PS = PB = b. QR = QB = c, PQ=b + c。:. SR2 =(b + cf -(b-cf
SR = 2jZ齐。假设存在点 M.且 MS=x ,别 MR=2 顷-x。若使△PSMsZ\mrq,
则有 2 = - x。即 乂2 _ 2y[bcx + bc -0
X c
x1 = x2 = 4bc o SR=2 y[bc
AM为SR的中点.若使△ PSM^AQRM,
c14bc -x
.2b4bc
• • X = o
b + c
.MR _2賦-* _ 2 页 [_c _QB _RO
"~MS~ x- 2b4bc ~~b~~BP~~OS°
b + c
•••M点即为原点0。
综上所述，当点M为SR的中点时.zXPSMsAMRQ；当点M为原点时，△PSMs/\mrq.
方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点三角形相似，
T APSM = ZMRQ = 90°，
有△ PSMs △ MRQ 和△ PSMs AQRM 两种情况。
当厶PSM^ AMRQ 时.Z SPM= Z RMQ, Z SMP= ZRQM.
由直角三角形两锐角互余性质.知
中考数学第二轮复习(6) 探索性问题(含答案)
