人教版九年级上册数学圆中的最值问题.docx

人教版九年级上册数学圆中的最值问题
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人教版九年级上册数学圆中的最值问题
拔高专题 圆中的最值问题
一、基本模型建立
常有模型
图 (1)
图（ 2）
思虑
图（ 1）两点之间线段
最短
；
.在直线 L 上的同侧有两个点
图（ 2）垂线段
最短
。
A、B，在直线 L 上有到 A 、B
的距离之和最短的点存在，可
以经过轴对称来确立，即作出
此中一点对于直线 L 的 对称
点，对称点与另一点的连线与
直线 L 的交点就是所要找的点．
二、拔高精讲精练
研究点一 ：点与圆上的点的距离的最值问题
例 1：如图， A 点是⊙ O 上直径 MN 所分的半圆的一个三平分点， B 点是弧 AN 的中点， P 点是 MN 上一动点，⊙ O 的半径为 3，求 AP+BP 的最小值。
解：作点 A 对于 MN 的对称点 A ′，连结 A ′ B，交 MN 于点 P，连结 OA ′， AA ′．
∵点 A 与 A′对于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三平分点，
∴∠ A ′ ON= ∠AON=60 °， PA=PA′，∵点 B 是弧 AN 的中点，
∴∠ BON=30 °，∴∠ A′ OB= ∠ A ′ON+ ∠ BON=90 °，又∵ OA=OA ′ =3，
∴ A′ B=3 2 ．∵两点之间线段最短，∴ PA+PB=PA ′ +PB=A ′B=3 2 ．
【教师总结】 解决本题的重点是确立点 P 的地点．依据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转变为一条线段，即可计算。
研究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
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例 2：如图，在 Rt △AOB 中， OA=OB=3 2 ，⊙ O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点，过点 P 作⊙ O 的一条切线 PQ（点 Q 为切点），求切线 PQ 的最小值
解：连结 OP、 OQ．∵ PQ 是⊙ O 的切线，∴ OQ⊥ PQ；依据勾股定理知
2
2
2
，
PQ =OP -OQ
∴当 PO⊥ AB 时，线段 PQ 最短，∵在 Rt△ AOB 中， OA=OB=3
2 ，
∴ AB= 2 OA=6 ，∴ OP= OA ?OB =3，∴ PQ= OP2
OQ2
=2 2
．
AB
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