第十三讲三重积分和线面积分

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1、第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一）一、考试要求1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4、掌握计算两类曲线积分的方法。5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。7、了解散度与旋度的概念，并会计算。8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量

2、与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。二、内容提要1、 三重积分的概念 2、两类曲线积分 1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即 2) 可加性 2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 2) 可加性 注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系 (1) 是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。 (2) 3、两类曲面

3、积分 1）、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与曲面的侧面选择无关，即 ，其中为曲面的另一侧 2)可加性 , 其中 2）对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义： (2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即 2) 可加性 ， 其中 3）、 两类曲面积分之间的联系 =其中为曲面在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。 4、场论初步 1）、方向导数 设三元函数在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为，则 2 ）梯度(gradu) 设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad 注：沿梯度方向的方向导数为 3）、 散度(

4、div) 设 , 则 div 4）、 旋度(rot) 设 , 则 rot 5）、 流量设有向量场，F沿定向曲面S的流通量为 =。5、重积分的应用* 1） 曲面的面积 ，S= 2） 质量 （其中为密度函数，下同） 3） 重心 ， 4） 转动惯量 5） 引力：空间立体对位于点处的单位质点引力 ，其中三、重要公式与结论1、三重积分的对称性质 1）对称性 若关于xoy(z=0)平面对称，而是中对应于的部分，则关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果. 2） 轮换对称性若为：，（或则 2、格林公式 设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则 其中L是D的边界曲线且取正向。 注

5、： P,Q及其一阶偏导数要求连续， L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。 3、高斯公式 设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，则 其中是闭域W的边界曲面的外侧。 注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续， 应取外侧。 4、斯托克斯公式 设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面的边界曲线，则 =其中曲线L的方向与曲面所取侧的法线方向满足右手法则。 5、平面曲线积分与路径无关的四个等价条件 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则 1) 2)