空间向量求角

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1、3.2.3立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法空间空间“角角”问题问题空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角一、复习引入一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它

2、们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）范围：范围： 0,2ABCD1D|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角思考：思考：空间向量的夹角与空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？异面直线的夹角有什么关系？结论：结论：coscos,CD AB | 题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的如何用坐标法求异面直线所成的角？角？ (1)建立适当

3、的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系； (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；找到两条异面直线的方向向量的坐标形式； (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角所成的角 直线与平面所成角的范围： 0,2结论：结论：sin|cos,| n AB二、线面角：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的直线和直线在平面内的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角思考：如何用空间向量的夹角表

4、示线面角呢？表示线面角呢？n2. 线面角线面角 ua ula 设直线设直线l的方向向量为的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，且，且直线直线 与平面与平面 所成的所成的角为角为 ( ),则则a u l02 sina ua u ua,22,ua 2如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰的底面为等腰梯形，梯形，ABCD，ACBD，垂足为，垂足为H，PH是是四棱锥的高，四棱锥的高，E为为AD中点中点 (1)证明：证明：PEBC； (2)若若APBADB60，求直线，求直线PA与平与平面面PEH所成角的正弦值所成角的正弦值二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）

5、角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这的两条射线，这两条射线所成的两条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:0,范 围三、面面角：三、面面角：二面角的计算几何法：二面角的计算几何法：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、证明证明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、计算出此角的大小计算出此角的大小一一“作作”二二“证证”三三

6、“计算计算”16四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题问题1： 二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？AOB三、面面角：三、面面角：四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施探究方法探究方法12,n n 二面角 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在在二面角的面内且垂直于二面角的棱二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角的夹角. ,ABl ABCDl CD coscos,AB CDAB CDAB CD DCBA方向向量法：方向向量法：设二面角设二面