第2章 1.2 余弦定理.

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1、第二章第二章 解三角形解三角形1.2 1.2 余弦定理余弦定理问题提出在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?分析理解如图,根据向量的数量积,可以得到2aBCBCABCabc()()ACABACAB222ACACABAB222 | cos AACACABAB222cosbbcAc2222cosabcbcA即余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即2222cosbcacaB同理可证2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC 利用余弦

2、定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。延伸变形222c o s2bcaAb c222c o s2acbBb c222c o s2abcCa b中，在ABC推推 论论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222例4 4：如图,有两条直线AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)? 分析分析 经过3时,甲到达点P,OP=43=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5

3、3=13.5(km),问题转化为在OPQ中,已知OP=12km, OQ=13.5km,POQ= 80O,求PQ的长.ABODCQP80O解 经过3时后,甲到达点P,OP=43=12(km),乙到达点Q,OQ=4.53=13.5(km).依余弦定理,知222cosPQOPOQOPOQPOQ221213.521213.5 cos8016.4(km)答 3时后两人相距约16.4km.例5 5：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 的图形.试计算图中线段BD的长度及DAB的大小(长度精确到0.1,角度精确到1O)? 2, 3, 5,.ABCD11123解解.在BCD中,BC=1,C

4、D=1,BCD=135O.因为2222cosBDBCCDBC CDBCD22112 1 1cos135 22所以1.8BD 22,3BDAD在ABD中,AB=1,因为222cos2ABADBDDABABAD221( 3)(22)2 13 0.1691所以80DAB1. 1. 在在ABCABC中，已知中，已知a a7 7，b b1010， c c6 6，求，求A A、B B和和C.C.解： cosAb2c2a22bc A44 cosCa2b2c22ab C36 B180(AC)100.0.725，0.8071，2. ABC中，中，a=2，b=2 ，C=15，解此三角形.2Cabbaccos2222解：cc26 acbcaB2cos222B135 A 180(BC) 30 38 84 4 22 （）余弦定理的证明（ 3 ）余弦定理的应用（）余弦定理的内容