第十五章薄板的振动问题(徐芝纶第四版)
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1、第十五章 薄板的振动问题第一节 薄板的自由振动第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动 第五节 用差分法求自然频率 第六节 用能量法求自然频率第七节 薄板的受迫振动第五章 薄板的振动问题第一节 薄板的自由振动 关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程实际中的重要问题。 薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由振动。 单自由度振动的例子 薄板自由振动的一般问题：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这
2、一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。 (1)试求薄板振动的频率，特别是最低频率。 (2)设已知薄板的初始条件，即已知初挠度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。 当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度，就易求得薄板在该瞬时的内力。 设薄板在平衡位置的挠度为wewe(x，y)，这时，薄板所受的横向静荷为qq(x，y)。按照薄板的弹性曲面微分方程，我们有： 设薄板在振动过程中的任一瞬时t的挠度为wewe(x，y)，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力qi成平衡，即注意薄板的加速度是 qwDe4i4qqwDt2twt22twmqt2i其中m为薄板每单位面积内的
3、质量(包括薄板本身的质量和随薄板振动的质量)，则前式可以改写为因而每单位面积上的惯性力22i4twmqqqwDtt22e4)(twmwwDtt将上式与下式相减得到 qwDe4由于we不随时间改变，所以上式可以改写成为 在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板在任一瞬时的挠度为wwtwe，而上式成为 这就是薄板自由振动的微分方程。 )()(e22e4wwtmwwDtt224twmwD现在来试求微分方程的如下形式的解答 在这里，薄板上每一点(x，y)的挠度，被表示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是k ，另一方面，薄板在每一瞬时t
4、的挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数Wk(x，y)表示的。 11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww 为了求出各种振形下的振形函数Wk，以及与之相应的频率k，我们取 代入自由振动微分方程),()sincos(yxWtBtAw224twmwD然后消去因子(Acost十Bsint)，得出所谓振形微分方程024WDmW求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。 实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命如果可以由这一微分方程求得W的满足
5、边界条件的非零解，即可由相应的关系式(对任意的一点(x,y)都成立）WWmD4242Dm则振形微分方程简化为常系数微分方程024WDmW044WW现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用式42Dm求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为Wk及k，代入表达式11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am及Bm 。 设初始条件为 则由上式得 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt),(),(),(),(0101yxvyxWByxwyxWAkkkkkkk 于是可见，为了求得A
6、m及Bm，须将已知的初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数，这在数学处理上是比较困难的。 因此，只有在特殊简单的情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形的振形函数及相应的频率。但是，这也就可以解决工程上的主要问题了。 第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 其中k及n为整数，可以满足边界条件。代入振形微分方程bynaxkWsinsin044WW得到0sinsin4222224bynaxkbnak 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任
7、意值时都能满足，必须有 04222224bnak2222244bnak得到得出求自然频率的公式 mDbnakmD22222442命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率 当薄板以这一频率振动时，振形函数为 而薄板的挠度为 bynaxkWknsinsinmDbnak22222bynaxktBtAwknknknknsinsin)sincos(当kn1时，得到薄板的最低自然频率 mDbamDbnak22222222min11与此相应，薄板振动的振形函数为 而薄板在x方向和y方向都只有一个正半弦波。最大挠度发生在薄板的中央(xa2，yb2)。byaxWsinsin11当k2而n1时，自
8、然频率为 相应的振形函数为 薄板在x方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个正弦半波。对称轴xa2是一根节线(挠度为零的线，亦即在薄板振动时保持静止的线）。振形如图所示，图中的有阴线部分及空白部分表示相反方向的挠度。 mDba2222114byaxWsin2sin21xy薄板的总挠度为bynaxktBtAwknknknknknsinsin)sincos(11 为了求得Am及Bm，须将已知的初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数yxbynaxkvabDyxbynaxkwabCbynaxkDvbynaxkCwabknabknknknknknddsinsin4ddsinsin4sinsinsinsin0
9、00000110110 根据初始条件为 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt可得 knknknknknDBCAbynaxktDtCwknknknknknknsinsin)sincos(11 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简单地得出自由振动的完整解答。第三节 两对边简支的矩形薄板的 自由振动 其中Yk是待定的y的函数。W可以满足该两简支边的边界条件。将其代入振形微分方程取振形函数为 axkYWksin044WW得出常微分方程 0dd2dd24442222244kkkYakyYakyYxy它的特征方程是在大多数的情况下，2k22/a2，而上面所示的四个根是两实两虚，取正实数 而这个
10、代数方程的四个根是 02244422224akrakr22222222akak22222222222222akDmakakDmakDm上述四个根成为及i，而微分方程的解可写为yCyCyCyCYksincosshch4321从而得振形函数的表达式 axkyCyCyCyCWsin)sincosshch(4321 在少数的情况下，2k22/a2)，得到Cl至C4的齐次线性方程组，00)(00)(0220bybyyyywwyww0cossinchsh0chsinchcosshch004321432121221bCbCbCbCbCbbCbbCbCCCC上列方程可以改写为 命这一方程组的系数行列式等于零，
11、展开以后，进行一些简化，最后可得出 0ththbbbb0/th/th2222222222222222ambambambamb求得2的实根，即可求得自然频率 mD2 用如上方法求得的最低自然频率，可以表示成为依赖于边长比值ab算得的系数k值，并以表来表示。 这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。因此，在工程实践中计算矩形板的自振频率，特别是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差分法或能量法。 第四节 圆形薄板的自由振动 对于圆形薄板的自由振动，也可以与上相同地进行分析。在极坐标中，薄板的自由振动的微分方程仍然是 现在，仍然把微分方程的解答取为无数多简谐振
