材料力学-第8章 清华大学教材

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1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN QinFAN Qin-Shan-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSIT

2、YTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERS

3、ITYTSINGHUA UNIVERSITY -TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY1235TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYmaxTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA

4、 UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY空心活塞销受力如图所示。已知FPmax=7 000 N。销子各段可近似视为承受均布载荷。销子由钢材制成，许用应力240 MPa。最大正应力作用点与最大切应力作用点的强度。 TSINGHUA UNIVERSITY1作销子的受力简图与剪力图

5、、弯矩图，判断危险面其中3133237000N/m 140 10 N/m 140kN/m2 25 107000N/m233 3 10 N/m233 3kN/m2 15 10.qq销子在AB、BC、CD三段都承受均布载荷作用，但段AB、CD与段BC的载荷方向和载荷集度不同。由此可以画出销子的计算简图。TSINGHUA UNIVERSITY1作销子的受力简图与剪力图、弯矩图，判断危险面根据计算简图，可以作出剪力图和弯矩图，从图中可以看出：销子中间截面上弯矩最大，其值为 mkN100072max.MTSINGHUA UNIVERSITY2计算销子的弯曲截面系数 圆管弯曲截面系数 4343933363

6、33132201013 101m3220 100 645 10m0 645 10 mm.DdWDTSINGHUA UNIVERSITY3校核最大正应力作用点的强度 最大正应力发生在最大弯矩作用面上的上、下两点，其应力值为 330 645 10 mm.WmkN100072max.M 23maxmax667 00 1010Pa0 645 10108.5 10 Pa 108.5MPa.MW所以，销子上最大正应力作用点的强度是安全的。 TSINGHUA UNIVERSITY4校核最大切应力作用点的强度 圆管横截面上的最大弯曲切应力（作用在中性轴上各点）为 Qmax2FA其中，FQ为横截面上的剪力；A为

7、横截面面积。 现在要进行强度校核，因而必须采用梁内的最大剪力。由剪力图可知，B、C两处截面上剪力最大，其值为 Qmax3 50kN.FTSINGHUA UNIVERSITY4校核最大切应力作用点的强度 Qmax3 50kN.F圆管的横截面面积为 222262424201310m1 81 10 m4.ADd销子中的最大弯曲切应力为 3Qmax463 5 1022Pa1 81 1038.7 10 Pa38.7MPa.FATSINGHUA UNIVERSITY4校核最大切应力作用点的强度 纯剪应力状态的主应力为 max38.7MPa12338 7MPa038 7MPa. 根据最大切应力作用点的强度设

8、计准则，有 1338 7MPa38 7MPa77 4MPa. .所以销子上最大弯曲切应力作用点的强度也是安全的。 TSINGHUA UNIVERSITY5小结 以上计算结果表明，最大弯矩与最大剪力不在同一横截面上；最大正应力与最大切应力也不在同一点上，前者发生在中间截面的上、下两点，后者发生在截面B、C中性轴上各点。 TSINGHUA UNIVERSITY简支梁，由No.20a普通热轧工字钢制成。若已知工字钢材料的许用应力 157 MPa，l2 000 mm。梁的许可载荷FP 。TSINGHUA UNIVERSITY因为在细长梁中，正应力对强度的影响是主要的，所以本例中先按最大正应力作用点的强

9、度计算许可载荷，然后，再对最大切应力作用点进行强度校核。 首先，画出梁的剪力图和弯矩图。由弯矩图可以看出，C、D两处截面上的弯矩最大，故为危险面，其上的弯矩值为 3PmaxlFMTSINGHUA UNIVERSITY由型钢表查得No.20a普通热轧工字钢的弯曲截面系数（表中为Wz）为3PmaxlFMW237 cm3237 106 m3 于是由 得到 WMmaxmaxPa10157m102373636PlFTSINGHUA UNIVERSITYPa10157m102373636PlF由此解出 66P3237 10157 10N200055 8 10 N55 8kN.FTSINGHUA UNIVE

10、RSITY由剪力图可得最大剪力 maxmaxQmaxmaxQmaxSIFISFQPmax2255 8kN33FF.上述最大切应力表达式中，为工字钢腹板厚度（型钢表中为d），以及（型钢表中为IxSx）均可由型钢表查得。对于No.20a普通热轧工字钢，查得 TSINGHUA UNIVERSITYmaxmaxQmaxmaxQmaxSIFISFd7 mm， IxSx 17.2 cm0.172 m 最大弯曲切应力 MPa930Pa10930Pa1720107310855232633maxPmaxmaxQmax.SIFSIFQPmax2255 8kN33FF.TSINGHUA UNIVERSITY所以，梁

11、上最大切应力作用点的强度是足够的。因此，该梁的许可载荷为55.8kN max30 9MPa.纯剪应力状态的主应力为 12330 9MPa030 9MPa. 根据最大切应力作用点的强度设计准则，有 1330 9MPa30 9MPa61 8MPa. .TSINGHUA UNIVERSITY请读者思考下列问题：如果作用在梁上的两个集中力分别向两边的支承处移近，这时梁的内力和应力将会发生什么样的变化？梁的许可载荷又将发生什么变化？当C、D两个加力点距支承500 mm时，这时的许可载荷为多少？本例所算得的许可载荷是在l2 000 mm时的数值。这时梁内最大弯曲切应力小于许用数值。若当l200 mm时，其

12、他条件不变，这时的许可载荷等于多少？在这一载荷作用下，梁内的最大弯曲切应力是否满足强度要求？ TSINGHUA UNIVERSITY该梁的强度。 由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如图所示，其中z轴为中性轴。铸铁的拉伸许用应力为39.3 MPa，压缩许用应力为 58.8MPa，I z=7.65106 mm4。Iz=7.65106 mm4TSINGHUA UNIVERSITY画出梁的弯矩图。 从弯矩图上可以看出，截面B上弯矩绝对值最大，为可能的危险面之一。 在截面D上，弯矩虽然比截面B上的小，但根据该截面上弯矩的实际方向，其上边缘各点受压应力，下边缘各点受拉应力，并且由于受拉边到中性轴的距离较

13、大，拉应力也比较大，而材料的拉伸许用应力低于压缩许用应力，所以截面D亦可能为危险面。现分别校核这两个截面的强度。 TSINGHUA UNIVERSITY对于截面B，弯矩为负值，其绝对值为 由弯矩实际方向可以确定该截面上点1受压、点2受拉，应力值分别为334 5 101 N m4 5 10 N m4 5kN m.zM 33max664 5 1088 10Pa7 65 1051 8 10 Pa51 8MPa.zzM yI 33max664 5 1052 10Pa7 65 1030 6 10 Pa30 6MPa.zzM yITSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSING

14、HUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY简支梁，拟由普通热轧工字钢制成。在梁跨度中点作用一集中载荷FP，其作用线通过截面形心并与铅垂对称轴夹角为20。已知l=4 m，FP=7 kN，材料的许用应力 =160 MPa。工字型钢的型号。TSINGHUA UNIVERSITY1内力与应力分析 由于载荷作用线与形心主轴方向不一致，故将产生斜弯曲。先将F FP矢量沿y、z轴分解，得到两个平面弯曲。maxmaxcos, zMM 两种情形下的最大弯矩分别为maxmaxsin,yMMyzTSINGHUA UNIVERSITY1内力与应力分析maxmaxPmaxsincos4,yzyz

15、yzMMF lWWWW 二者分别为xz平面和xy平面内弯曲时危险面上的弯矩值。于是梁内最大正应力 yzTSINGHUA UNIVERSITY1内力与应力分析 20Pmaxsin20cos204zzyF lWWWmaxmaxPmaxsincos4,yzyzyzMMF lWWWWyzTSINGHUA UNIVERSITY应用最大正应力点的强度设计准则， 02cos02sin4PmaxyzzWWWlF2强度设计 02cos02sin4PyzzWWlFWTSINGHUA UNIVERSITY 这一结果表明，必须先已知比值Wz/Wy才能确定Wz。在本例的情形下，比值Wz/Wy是未知的。所以，需先设定一W

16、z/Wy值，代入上式求得Wz，由型钢表查得对应的工字钢号，进而查得该号工字钢的Wy，将其代入2强度设计 02cos02sin4PyzzWWlFW 02cos02sin4PmaxyzzWWWlFTSINGHUA UNIVERSITY校核是否满足。若二者相差不超过5，则这一钢号即为求。 02cos02sin4PmaxyzzWWWlF 否则，再加大或减小工字钢号，查得新的Wz与Wy，代入上式再一次进行强度校核。依此类推，直到上述要求满足为止。 2强度设计TSINGHUA UNIVERSITY对于本例，如第一次设定 2强度设计 02cos02sin4PyzzWWlFW10yzWW33mm10191zW

17、TSINGHUA UNIVERSITY33mm10191zW据此，选择工字钢号为No18，进而由型钢表查得 3333mm1026mm10185yzWW，2强度设计TSINGHUA UNIVERSITY2强度设计据此，选择工字钢号为No18，进而由型钢表查得 3333mm1026mm10185yzWW，于是，需要进行第二次试算。这时，可选择小一号的工字型钢No.16。由型钢表查得Wz141103 mm3，Wy21.2103 mm3，再将其代 入最大应力表达式Pmaxsin20cos204zzyF lWWW127 6MPa,. %.320maxTSINGHUA UNIVERSITY2强度设计于是，

18、需要进行第二次试算。这时，可选择小一号的工字型钢No.16。由型钢表查得Wz141103 mm3，Wy21.2103 mm3，再将其代 入最大应力表达式Pmaxsin20cos204zzyF lWWW159 6MPa,. %.250max这一结果已经满足强度设计要求。因此，最终选择No.16工字型钢。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGH

19、UA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY危险点及其应力状态（忽略剪力） 危险点的位置TSINGHUA UNIVERSITY 危险点的应力状态PxMWMWTSINGHUA UNIVERSITYPxMWMW22r3xMMMP2WW22r40 75.xMMM22yzMMM 22r3r34,MW 22r4r43,MWTSINGHUA UNIVERSITYr3r3333210MMdr 4r 4333210MMdTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVER

20、SITY拉伸拉伸剪切TSINGHUA UNIVERSITY 剪断(连接件与连接板) 挤压破坏(铆钉、连接件与连接板) 连接板拉断TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY一个剪切面一个剪切面 TSINGHUA UNIVERSITY 二个剪切面二个剪切面TSINGHUA UNIVERSITYQAFTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY连接件直径为d，连接板厚度为，则有效挤压面

21、面积为d。 TSINGHUA UNIVERSITYPccFdTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY有效剪切面 l有效剪切面有效剪切面TSINGHUA UNIVERSITYl有效剪切面TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSING

22、HUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 悬臂梁受力如图所示。若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A都相等。试分析哪一种形式截面梁的强度最高。 TSINGHUA UNIVERSITY 铸铁T形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力FP作用线沿铅垂方向。若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生平面弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种能够使梁具有最高的强度。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回总目录返回总目录返回返回