数学建模-第13讲 回归分析

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1、 2022-5-311数学建模与数学实验数学建模与数学实验回归分析回归分析 实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件求解回归分析问题。、掌握用数学软件求解回归分析问题。1、直观了解回归分析基本内容。、直观了解回归分析基本内容。1 1、回归分析的基本理论回归分析的基本理论。3 3、实验作业。实验作业。2、用数学软件求解回归分析问题。用数学软件求解回归分析问题。 2022-5-313一元线性回归一元线性回归多元线性回归多元线性回归回归分析回归分析数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计* *检验、预测与控制检验、预测与控制可线性化的一元非线可线性化的一元非线性回归（曲线回归

2、性回归（曲线回归）数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计*多元线性回归中的多元线性回归中的检验与预测检验与预测逐步回归分析逐步回归分析(原理略) 2022-5-314一、数学模型一、数学模型例例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长8885889192939395969897969899100102以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.1401451501551601658486889092949698100102散点图x

3、y10解答一元线性回归一元线性回归 2022-5-315一元线性回归分析的主要任务主要任务是：1、用试验值（样本值）对0、1和作点估计；2、对回归系数0、1作假设检验； 3、在 x=0 x处对 y 作预测，对 y 作区间估计.xY10，称为 y 对对 x的回归直线方程的回归直线方程.返回返回 2022-5-316二、模型参数估计二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计、回归系数的最小二乘估计 2022-5-31722110 xxyxxyxy（经经验验）回回归归方方程程为为: )(110 xxyxy 或 niiniiixxyyxx1211niiiniiniiniiyxnxy,xnxyny,xn

4、x1122111111，其中 2022-5-3182、2的无偏估计的无偏估计记 niniiiiieyyxyQQ11221010)(),(称 Qe为残残差差平平方方和和或剩剩余余平平方方和和. 2的的无无偏偏估估计计为 )2(2nQee称2e为剩剩余余方方差差（残残差差的的方方差差） ， 2e分别与0、1独立 。 e称为剩剩余余标标准准差差. 2022-5-319三、检验、预测与控制三、检验、预测与控制1、回归方程的显著性检验、回归方程的显著性检验 对回归方程xY10的显著性检验，归结为对假设 0:; 0:1110HH进行检验.假设0:10H被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关系，所

5、求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义. 2022-5-3110（）F检验法检验法 当0H成立时， )2/( nQUFeF（1，n-2）其中 niiyyU12（回归平方和）回归平方和）故 F)2, 1 (1nF，拒绝0H，否则就接受0H. （）t检验法检验法niiniixxxnxxxL12212)(其中当0H成立时，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒绝0H，否则就接受0H. 2022-5-3111（）r检验法检验法当|r| r1-时，拒绝 H0；否则就接受 H0.记 niniiiniiiyyxxyyxxr112

6、21)()()(其中2, 121111nFnr 2022-5-31122、回归系数的置信区间、回归系数的置信区间0和和1置信水平为置信水平为 1-的置信区间分别为的置信区间分别为 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(211211 2022-5-31133、预测与控制、预测与控制（1）预测）预测用 y0的回归值0100 xy作为 y0的的预预测测值值.0y的置信水平为1的预测区间预测区间为 )(),(0000 xyxy其中xxeLxxnntx2021011)2()( 特 别 ， 当 n 很 大 且 x0在x附 近 取 值

7、 时 ,y 的 置 信 水 平 为1的预预 测测 区区 间间 近近 似似 为为 2121,uyuyee 2022-5-3114（2）控制）控制要求：xy10的值以1的概率落在指定区间yy ,只要控制 x 满足以下两个不等式 yxyyxy )(,)(要求)(2xyy .若yxyyxy )(,)(分别有解x和x ，即yxyyxy )(,)(. 则xx ,就是所求的 x 的控制区间. 2022-5-3115四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）例例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关

8、 系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：使用次数增大容积使用次数增大容积234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76 2022-5-311624681012141666.577.588.599.51010.511散点图此即非线性回归非线性回归或曲线回归曲线回归 问题（需要配曲线）配曲线的一般方法是：配曲线的一般方法是：先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得niyxii,.,2 , 1),(画出散点图，根据散点图确定须配曲线的类型.然后由 n 对试验数

9、据确定每一类曲线的未知参数 a 和 b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性回归线性化的方法. 2022-5-3117通常选择的六类曲线如下：（1）双曲线双曲线xbay1（2）幂函数曲线幂函数曲线 y=abx, 其中 x0,a0（3）指数曲线指数曲线 y=abxe其中参数 a0.（4）倒倒指指数数曲曲线线 y=axbe/其中 a0，（5）对对数数曲曲线线 y=a+blogx,x0（6）S 型型曲曲线线xbeay1解例2.由散点图我们选配倒指数曲线y=axbe/根据线性化方法，算得4587. 2,1107. 1Ab由此 6789.11Aea最后得 xey1107. 16

10、789.11解答 2022-5-3118统计工具箱中的回归分析命令统计工具箱中的回归分析命令1、多元线性回归、多元线性回归2、多项式回归、多项式回归3、非线性回归、非线性回归4、逐步回归、逐步回归返回返回 2022-5-3119多元线性回归多元线性回归 b=regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、确定回归系数的点估计值：确定回归系数的点估计值：ppxxy.110对一元线性回归，取 p=1 即可 203、画出残差及其置信区间：画出残差及其置信区间： rcoplot（r，rint）2、求回归系数的点估计和区间估

11、计、并检验回归模型：求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p置信区间 显著性水平（缺省时为0.05） 相关系数 r2越接近 1，说明回归方程越显著； F F1-（k，n-k-1）时拒绝 H0，F 越大，说明回归方程越显著； 与 F 对应的概率 p时拒绝 H0，回归模型成立. 21例例1 解：解：1、输入数据：输入数据： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 15