函数的定义域和值域

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1、第二章 函数 2.1 函数及其表示函数及其表示 （二课时）（二课时）1、函数的定义域：函数的定义域： 要使函数要使函数有意义有意义的自变量的自变量x的取值的取值的集合。的集合。 一一. .定义域问题定义域问题 求函数定义域的主要依据：求函数定义域的主要依据：（1）分式的）分式的分母不为零分母不为零；（2）偶次偶次方根的方根的被开方数不小于零被开方数不小于零,零的零次方没有意义零的零次方没有意义;（3）对数函数的）对数函数的真数必须大于零真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于底数必须大于零且不等于1（5 5）正切函数）正切函数如果函数是由一些基本函

2、数通过四则运算而得到的，那么如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。它的定义域是由各基本函数定义域的交集。)(2Zkkx2.复合函数定义域：复合函数定义域：(1)已知已知f(x)的定义域为的定义域为 ,其复合函数其复合函数 定义域应由不等式定义域应由不等式 解出。解出。 bax,bxga)()(xgf(2)已知已知f(g(x)的定义域是的定义域是a,b，求，求f(x)的定义域，求的定义域，求f(h(x)的定义域的定义域是指：是指： f(g(x)的定义域是的定义域是a,b是指是指axb，则，则 m g(x) n，m,n才是所求的才是所求的f(x)的

3、定义域的定义域;则则m g(x) n，即，即m h(x) n,求出的求出的x才是才是f(h(x)的定义域的定义域3.求函数的定义域的步骤求函数的定义域的步骤（1）写出函数式有意义的不等式（组）写出函数式有意义的不等式（组）（2）解不等式（组）解不等式（组）（3）写出函数的定义域（用集合表示）写出函数的定义域（用集合表示）解解回顾反思1. 求解步骤：求解步骤：（1）列出使函数有意义的不等式或者不等式组列出使函数有意义的不等式或者不等式组；（2）解得到的不等式或不等式组；）解得到的不等式或不等式组；（3）用集合或者区间表示解集）用集合或者区间表示解集.2. 思维误区：思维误区：定义域应该用集合或者

4、区间表示定义域应该用集合或者区间表示解解二二. .值域问题值域问题 1求函数值域的方法求函数值域的方法直接法直接法:从自变量从自变量x的范围出发，推出的范围出发，推出y=f(x)的取值范围的取值范围二次函数法：二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域利用换元法将函数转化为二次函数求值域反函数法：反函数法：将求分式函数的值域转化为求它的反函数的将求分式函数的值域转化为求它的反函数的 定义域（也可用定义域（也可用分离常数法分离常数法解）解）判别式法：判别式法：运用方程思想，依据二次方程有实根，求出运用方程思想，依据二次方程有实根，求出 y的取值范围；的取值范围； 换元法：换元法：运用代数或

5、三角代换，将所有函数化成值域运用代数或三角代换，将所有函数化成值域 容易确定的另一个函数，从而求得原函数的值域容易确定的另一个函数，从而求得原函数的值域单调性法：单调性法：利用函数的单调性求值域；利用函数的单调性求值域；不等式法：不等式法：利用基本不等式求值域；利用基本不等式求值域；图象法：图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域求导法：求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求 最值，再得值域；最值，再得值域；几何意义法：几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。由数形结合，转化斜率、距离等求

6、值域。2.基本初等函数的值域基本初等函数的值域)0()1 kbkxy)0()22 acbxaxy)0()3 kxky)10()4 aaayx且且)10(log)5 aaxya且且xyxyxytan,cos,sin)6 题型举例题型举例(一）求基本函数的值域一）求基本函数的值域 答案：10，)答案：答案：C 3.换元法换元法形如形如： 的函数可令的函数可令 ，则则 转化为关于转化为关于t的二次函数求值的二次函数求值,注意注意t范围范围cdtx2dcxbaxy)0( ttdcx22xa 形如形如含有含有 的结构的函数，可用三角换元的结构的函数，可用三角换元令令 x=acos（ ）求解。）求解。,

7、0换元法，化为二次函数换元法，化为二次函数三角换元法三角换元法例例3求下列函数的值域求下列函数的值域(1)xxy21221xxy(3)(2) y=sinx+cosx+sinxcosx换元法，化为二次函数换元法，化为二次函数4. 其它方法其它方法2(3)41xxy 225(4)4xyx4sin1(5)2cos4xyx解答解答(1)(配方法配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在在0,3上为增函数，上为增函数，0y15，即函数，即函数yx22x(x0,3)的值域为的值域为0,15 答案：答案：(1)y|yR，y1(2)4,6（二）求复合函数的值域（二）求复合函数的值域（三）已知函数的值域，

8、求字母的取值范围或值 5.与函数定义域、值域有关的参数问题与函数定义域、值域有关的参数问题变式：变式：若函数若函数f(x)的值域为的值域为R,则则a的取值范围如何？的取值范围如何？ 答案：B 例例8甲乙两地相距甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过速度不得超过c千米千米/时，已知汽车每小时的运输成本时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度与速度v（千米（千米/时）的平方成正比，比例系数为时）的平方成正比，比例系数为b，固定，固定部分为部分为a元，元，把全程运输成本把全程运输成本y元表示为速度元表示为速度v（千米（千米/时）的函数，时）的函数，并指出这个函数的定义域，并指出这个函数的定义域，为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？