计算机图形学 5.1二维变换

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1、第五章第五章Cohen-Sutherland5.1 5.1 图形几何变换基础图形几何变换基础5.2 5.2 二维图形基本几何变换矩阵二维图形基本几何变换矩阵 5.3 5.3 二维复合变换二维复合变换5.4 5.4 二维图形裁剪二维图形裁剪5.5 Cohen-Sutherland5.5 Cohen-Sutherland直线裁剪算法直线裁剪算法 通过对图形进行几何变换，可以由简单图形构造复杂图形。图形几何变换是对图形进行平移变换、比例变换、旋转变换、反射变换和错切变换。图形几何变换可以分为二维图形几何变换和三维图形几何变换，而二维图形几何变换是三维图形几何变换的基础 。n5.1.1 5.1.1 规

2、范化齐次坐标规范化齐次坐标n5.1.2 5.1.2 矩阵相乘矩阵相乘n5.1.3 5.1.3 二维变换矩阵二维变换矩阵n5.1.4 5.1.4 二维几何变换二维几何变换 为了使图形几何变换表达为图形顶点集合矩阵与某一变换矩阵相乘的问题，引入了规范化齐次坐标。 所谓齐次坐标就是用n1维矢量表示n维矢量。例如，在二维平面中，点P(x，y)的齐次坐标表示为（wx，wy，w）。类似地，在三维空间中，点P(x，y，z)的齐次坐标表示为（wx，wy，wz，w）。这里，w为任一不为0的比例系数，如果w1就是规范化的齐次坐标。二维点P(x，y)的规范化齐次坐标为x，y，1，三维点P(x，y，z)的规范化齐次坐

3、标为x，y，z，1。不能写成下标形式，w和x，w和y，w和z是乘法的关系。 定义了规范化齐次坐标以后，图形几何变换可以表示为图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。 二维图形顶点表示为规范化齐次坐标后，其图形顶点集合矩阵一般为n3的矩阵，其中n为顶点数，变换矩阵为33的矩阵。在进行图形几何变换时需要用到线性代数里的矩阵相乘运算。例如，对于n3的矩阵A和33的矩阵B，矩阵相乘公式为：333231232221131211321232221131211bbbbbbbbbaaaaaaaaaBAnnn3332321313232221213132121113323232213213223

4、22221221312321221121331323121311321322121211311321121111bababababababababababababababababababababababababababannnnnnnnn由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。特别地，对于二维变换的两个33的方阵A和B，矩阵相乘公式为：333231232221131211333231232221131211bbbbbbbbbaaaaaaaaaBA333323321331323322321231313321321131332323221321

5、322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111bababababababababababababababababababababababababababa类似地，可以处理三维变换的两个44的矩阵相乘问题 用规范化齐次坐标表示的二维基本几何变换矩阵是一个33的方阵，简称为二维变换矩阵。smlqdcpbaTdcbaT1是对图形进行比例、旋转、反射和错切变换；mlT 2是对图形进行平移变换；qpT3是对图形进行投影变换； sT 4是对图形进行整体比例变换。（5-2） 二维几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一个算子，作用到变换前

6、的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵上，得到变换后新的图形顶点集合的规范化齐次坐标矩阵。连接变换后的新图形顶点，就可以绘制出变换后的二维图形1112211nnyxyxyxP1112211nnyxyxyxP二维变换矩阵为：smlqdcpbaTsmlqdcpbayxyxyxyxyxyxnnnn11111122112211二维图形基本几何变换是指相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比例、旋转、反射和错切五种变换。本节以点的二维基本几何变换为例进行讲解。二维坐标点的基本几何变换可以表示成P=PT的形式，其中，P为变换前点的规范化齐次坐标点， P为变换后点的规范化齐次坐标点，T为33的变换矩阵

7、。 平移变换是指将坐标点P(x,y)从位置移动到P(x,y)位置的过程，如图5-1所示。平移变换的坐标表示为： yxTyyTxx图5.1 平移变换654321O123456yxPPTxTy因此，二维平移变换矩阵为：1010001yxTTT式中，Tx，Ty为平移参数。（5-4）1010001111yxyxTTyxTyTxyx 比例变换是指坐标点P(x,y)相对于坐标原点O，沿x方向缩放Sx倍，沿y方向缩放Sy倍，得到点P(x,y)的过程，如图5-2所示。654321O123456yx图5.2比例变换PPsysx比例变换的坐标表示为：yxSyySxx相应的齐次坐标矩阵表示为：0011100001x

8、xyySxyx Sy SxyS1000000yxSST比例变换可以改变图形的形状。当SxSy且Sx、Sy大于1时，图形等比放大；当SxSy且Sx、Sy小于1大于0时，图形等比缩小；当SxSy时，图形发生形变。 前面介绍过变换矩阵的子矩阵是对图形作整体比例变换，关于这一点可以令SxSyS导出，请注意这里s1/S，即s1时，图形整体缩小；0s1时，图形整体放大。 sT 4P(x,y)P(x,y)654321O123456yxPP图 5-3 旋转变换对于 点，极坐标表示为：sincosryrx( , )P x y旋转变换的坐标表示为： cossin)sin(sincos)cos(yxryyxrx相应

9、的齐次坐标矩阵表示为： 1cossinsincos1yxyxyx1000cossin0sincos1yx因此，二维旋转变换矩阵为： 1000cossin0sincosT(5-6)式中，为旋转起始角，为旋转终止角。式（5-6）为绕原点逆时针旋转的变换矩阵，若旋转方向为顺时针，角取为负值。 顺时针旋转变换矩阵为：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(TP(x,y) P(x,y)关于原点反射的坐标表示为：yyxx相应的齐次坐标矩阵表示为： 100010001111yxyxyx因此，关于原点的二维反射变换矩阵为：100010001T同理可得，关于x轴的二维

10、反射变换矩阵为： 100010001T同理可得，关于y轴的二维反射变换矩阵为： 100010001T（5-8）（5-9） BADCABCDb=0c=1b=0c=-1BACD（d）沿+y方向错切（e）沿-y方向错切（f）沿+x和+y方向错切沿x，y方向的错切变换的坐标表示为： ybxycyxx相应的齐次坐标矩阵表示为： 1000101111cbyxybxcyxyx图5-5错切变换BADCb=1c=0CCDDBBAAb=-1c=0b=1c=1因此，沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为： 1000101cbT其中c、b为错切参数。（5-10） 的非对角线元素大多为零， 在前面的变换中，子矩阵 dcb

11、aT1上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的新多边形来实现。曲线的变换可通过变换控制多边形的控制点并重新画线来完成。 符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（Affine Transformation）。 232221131211ayaxayayaxax变换后的坐标x和y都是变换前的坐标x和y的线性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。 仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有限点的一般特性