第2章 水动力弥散方程.

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1、 第二章 水动力弥散方程用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程（微分方程）。本章主要内容有：2-1. 水动力弥散方程的有关参数1、流体的密度、浓度； 2、多组分流体的流速； 3、流体的通量。2-2. 溶液中组分的质量守恒方程2-3. 组分的的对流扩散（Fick方程）2-4. 多孔介质中水动力弥散方程2-5. 源汇项2-6. 初始条件与边界条件2-1 水动力弥散方程的有关参数2-1-1 流体的密度（）所谓的流体密度指的是单位流体体积的质量，常用 表示，量纲ML-3。多组分流体的密度实际上对于非均质的多组分流体而言，其密度是随着组成它的各种组分的浓度不同而变化的。假设某多组份流体共有N种组分

2、其某一组分称为 ，取该液体中一体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中组分的质量为dm则 组分的质量密度：dvdm若将所有N种组分的质量密度进行求和： dvdmdvdmdvdmNNN1121就等于该溶体的体系密度。某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓度。浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。2-1-2 多组分流体的流速 u组分的质点流速u是指在dv内组分的各个分子的统计平均速度，也就是各个分子的速度之和除以分子的个数。对每种多组分流体来看溶液中各种组分的速度是不相等的。流体体系的质点流速:流体体系中各组分的质量平均速度 u一般情况下， 组分的质点流速 与流体体

3、系的质量平均流速 是不相等的，两者存在一个偏差：uuuuuuuu 或u称为组分质点相对于质量平均速度 的扩散速度。u2-1-3 流体的通量流体的质量通量流体的质量通量 ：流体在单位时间内通过单位面积的流体的质量：流体在单位时间内通过单位面积的流体的质量uJ组分的质量通量组分的质量通量 单位时间内通过与流体方向垂直的单位单位时间内通过与流体方向垂直的单位面积上的面积上的组分的质量。组分的质量。uJ组分相对与溶体质量平均流速组分相对与溶体质量平均流速 的的质量扩散通量质量扩散通量 ：对流体体系来说，显然有：对流体体系来说，显然有：JJJu()JuuuJ10NJ111110NNNNNJuuuuuu这

4、是因为这是因为2-2 溶液中组分的质量守恒方程（连续介质） 在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面，边长分别为 x、y、 z，质量守恒原理:在时间t内，组分在这个单元体中的净流出（或流出）量（暂不考虑起内部有质量产生和消失），应等于这个单元中组分的质量变化用方程的形式可表示为：zyxtyxuutzxuutzyuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2质量守恒方程（连续介质）zyxuuu,设设 分别表示分别表示组分密度、组分密度、x,y,z方向的速度方向的速度分量。分量

5、。其中：其中： 经过经过t时间后，质量均衡体中时间后，质量均衡体中 的变化量。的变化量。将上式左右两端同除以将上式左右两端同除以 得：得：tzyxtzuuyuuxuuzzyxzzzyxzzyyxyzyyxyzyxxxzyxxx2,2,2,2,2,2再对方程两端取极限，即令再对方程两端取极限，即令0, 0, 0, 0tzyxtzuyuxuzyx即有即有：即即0divut若微小的质量均衡体内存在着若微小的质量均衡体内存在着组分的源汇项，则上式可改写为：组分的源汇项，则上式可改写为：Iutdiv多组分流体体系中多组分流体体系中组分组分的质量守恒方程的质量守恒方程 多组分组成的流体中，多组分组成的流体

6、中，单位体积流体在单位时间内，由于化单位时间内，由于化学反应或其它原因所学反应或其它原因所产生产生（或（或消失消失）的）的组分的组分的质量质量。I 上述质量守恒方程中，至少包括上述质量守恒方程中，至少包括 4个未知变个未知变量量 有时可以独立给出（如抽、注、示踪剂的速率），但有时也有时可以独立给出（如抽、注、示踪剂的速率），但有时也与与 有关，如吸附作用、溶解作用，不能简单的有关，如吸附作用、溶解作用，不能简单的 给定，因此上述给定，因此上述方程不能单独求解，还必须引入方程不能单独求解，还必须引入通量通量与与驱动力驱动力之间的关系式，即之间的关系式，即质质量通量量通量与与组分密度组分密度间的关

7、系。间的关系。zyxuuu,I 在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动：2-3 组分的对流扩散方程（连续介质）一一是受流体的流动的控制是受流体的流动的控制，即该组分按平均流速随这个流体体系，即该组分按平均流速随这个流体体系的运移，的运移， 即即对流对流；二二是该组分的自身分子扩散是该组分的自身分子扩散，即由，即由浓度梯度浓度梯度引起的相对于平均流速引起的相对于平均流速运移的运移的分子扩散分子扩散。uutuututIdivdivdivdiv下面在下面在组分质量守恒方程基础上建立组分质量守恒方程基础上建立组分的组分的对流对流

8、扩散方程扩散方程：引入引入组分的质量扩散通量组分的质量扩散通量 则上式可写成：则上式可写成：JIJutdivdiv 是是组分的质量通量组分的质量通量 的的对流对流分量。分量。 是是组分的质量通量组分的质量通量 的的扩散扩散分量。分量。uuJu 对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，组分在等温组分在等温条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度 的扩散通量的扩散通量 可依可依Fick定律得出：定律得出：uJgradmDJ 表示溶质的分子扩散系数：表示溶质的分子扩散系数：mDICDuCtCmgraddivdiv二元体系中二

9、元体系中组分的组分的对流对流扩散方程扩散方程 对于低浓度溶液，浓度对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响的改变并不明显地影响 ，于是，于是 可视为常量，可视为常量， 也可视为常数。则：也可视为常数。则：mDCDJmgradICDuCtCmgraddivdiv稀释的二元体系中稀释的二元体系中组分的对流组分的对流扩散方程扩散方程 将上述对流扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可用来解决流动的地表水中组分的分布及变化规律（例如地表水体中污染物质的迁移）。应用条件：1、二元体系二元体系；2、等温条件等温条件；3、低浓度低浓度；因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就是从微观水平

10、上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介质中所发生的现象。方程中微观变量C、 ，都是相对于流体的质点而言的，而实际工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。u2-4 多孔介质中水动力弥散方程 上述对流扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架作为问题的边界。 将速度将速度 和浓度和浓度 在典型单元体的空隙体积在典型单元体的空隙体积 上取平上取平均均 值值 和和 ：CuVV。uCvoVVVodVuVu1voVVVoCdVVC1速度速度 和浓度和浓度 可分别用平均值可分别用平均值 、 和偏差和偏差 、 之和之和来表示：来表示：uuCCuC显

11、然显然0u0CICCDuuCCtCCmgraddivdivuuuCCC于是连续性水动力方程可以写成：于是连续性水动力方程可以写成：注意到注意到：在典型单元体上的液相体积中取平均值，得在典型单元体上的液相体积中取平均值，得0uCuC0uCuC并且：并且：梯度的平均梯度的平均等于等于平均的梯度；散度的平均平均的梯度；散度的平均等于等于平均的散度；平均的散度；对时间导数的平均值对时间导数的平均值等于等于平均对时间求导平均对时间求导。可得：。可得：ICDuCuCtCmgraddivdivdivuCuCCuC )( uCuC ICCDuuCCtCCmgraddivdiv)(展开，得展开，得ICDCDuC