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1、普通物理学复习纲要（下）第一部分振动一简谐振动的描述1简谐振动： 物体运动时，离开平衡位置的位移（角位移）随时间按余弦（或正弦）规律随时间变化：xA c o s (t)则物体的运动为简谐振动2描述简谐振动的物理量周期和频率 ：完成一次全振动所需要的时间，称为周期（T）；单位时间里完成全振动的次数称为频率（）T2 ,12T振幅：质点离开平衡位置的最大距离（A）。位相与初相：t+称为简谐振动的位相，称为初相。位相是描述物体振动状态的物理量。周期和频率由振动系统的固有性质决定 固有周期和固有频率。例：弹簧振子： T2m ，1kk2m振幅和初相由初始条件决定。例：若x t 0x0 ， v t 0 v0
2、 ，则A2v02x02tgv0x03简谐振动的表示振动方程： xA cos( t)振动曲线： x t 关系曲线旋转矢量表示：OM ：以角速度作匀速转动P：作简谐振动： xA cos( t)振幅 :旋转矢量的模 A圆频率 :旋转矢量的角速度位相 :旋转矢量与 OX轴的夹角t二简谐振动动力学1简谐振动的动力学特征1） Fkx ( M)2） a2 x （2）2几种常见的简谐振动弹簧振子： T2m / k单摆： T2l / g复摆： T2I /(mgh)3简谐振动的 能量Ek122t)xkA s i n(2E p1 kA2 c o 2s( t)21OEEkE pkA22谐振子的动能和势能都随时E间而变
3、化，振动过程中两者相互转换，但系统的总机械能保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。OMA M 0tOxPX图3tE1 kA22EkEpt图 104三简谐振动的合成1同频率同方向的简谐振动的合成Ax1A1 c o s (t1 )A2x2A2 c o s (t2 )A1x x1x2A c o s (t)2AA12A222A1 A2 c o sO x21Xx1 x2k,AA1A2图13( 2k1) ,AA1A22同方向不同频率的简谐振动的合成：形成拍3相互垂直的同频率的简谐振动的合成：椭圆轨道4相互垂直的同频率的简谐振动的合成：李萨如图四阻尼振动与受迫振动1阻尼振动： 质点在振荡过程中因受阻力的作
4、用而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。欠阻尼： 质点在平衡位置附近来回振动，振幅随时间不断衰减，最终停止振动。过阻尼： 质点不再作来回振动，而是逐渐向平衡位置靠近，最后停止在平衡位置。临界阻尼： 质点振动到平衡位置刚好停下来，以后不再振动。2受迫振动： 振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。稳定时，系统作简谐振动。系统稳定时的频率等于驱动力的频率。简谐振动的振幅驱动力的幅度和频率有关：当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。第二部分波动一机械波的基本概念1机械波及其产生条件：机械波： 机械振动在弹性介质中的传播，形成机械波。产生条件 ：1）波源； 2
5、）弹性介质2机械波中的两种运动 ：质点振动： 弹性介质中各质点只在平衡附近作振动。波的传播： 振动状态（振动位相）向前传播的过程。3机械波的分类：1）横波与纵波2）平面波与球面波3）简谐波和非简谐波重点研究： 平面简谐波二描述机械波的几个物理量1波速 u：单位时间里振动状态向前传播的距离。2波长：在一个全振动周期内振动状态向前传播的距离。或波的传播方向上振动位相差等于2 的两质点的距离。3周期与频率周期 T：振动状态向前传播一个波长所需的时间。频率：单位时间里振动状态向前传播的波数。波的周期和频率决定于波源振动的周期和频率，与传播媒质无关；而波速和波长与传播媒质有关。波速、波长、周期（频率）三
6、者间的关系uuT三平面简谐波1平面简谐波的表达式设： 1）波速为 u，沿 y 轴正（负）方向；2）原点 O 的振动方程： y0Acos( t)则：波的表达式（任一位置坐标为y 的质点的振动方程）为：yA c o s (tx )u2波动表达式的物理意义y 不变， t 可变：表示处在 y 处的质点的振动方程： y=y(t)， y t 曲线为振动曲线。t 不变， y 可变，表示 t 时刻各质点离开平衡位置的位移与质点的平衡位置坐的关系： y=y(x)， y x 曲线为波形图。y、t 均可变：表示振动状态的传播。四波的能量与波的强度1波的能量密度若 y A cos(tx) ，则uuV 中的能量：WA2
7、2 sin 2(tx) Vu能量密度：VwWA2 2 sin 2(tx )xx+ xVu平均能量密度：图 19w 1A2222波的能流密度（波的强度）平均能流： 单位时间里通过某一截面的平均能量，即122Pw u SAu S平均能流密度： 通过垂直于波的传播方向的单位面积平均能流，即IPw u1 A2 2uS2五波的干涉驻波1波的迭加原理： 两列波在传播过程中相遇，P在相遇区域内任一点的振动为两列波单独存r1在时在该点所引起真的振动的迭加。s12波的干涉r2AA12A222A1 A2 c o s2( r2 r1 )s221图 232k, AA1A2(2k1) ,AA1A23驻波y1A0 cos
8、 2( tx ), y 2A0c o s2 ( tx )TTy y1 y22 x2t2A0 c o sc o sTY 轴上各点作同频率的间谐振动。各点的振幅随坐标 x 而变化：2 xA 2A0 c o sxk(2k1),A 0波节4xk2k,A2A0 波腹4xk xk 1 xk/ 2若相邻波节之间为一段，则同一段中各点的振动位相相同，相邻段振动位相相反。六波的衍射1惠更斯原理： 波阵面（波前）上的每一点都可视为发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面（波前）。2波的衍射波的衍射现象： 波在传播过程中遇到障碍物时，能改变其传播方向而绕过障碍物的现象。波的衍射现象的解释： 各
9、子波的叠加产生波的衍射的条件： 小孔或障碍物的尺寸不比波长大得多。第三部分光的干涉一相干光的获得光程差与明暗条件1相干光的获得：分波阵面： 同一列光波的同一波阵面的不同部分发出的两列子光波为相干光波。分振幅： 通过反射或折射的方法把同一列光波分成两列，这两列光波为相干光波。2光程：光通过某一媒质的光程等于光在相同时间里在真空中所传播的几何路程：l nx3光程差与明暗条件k明l 2 l11/2) 暗(k4等光程性： 薄透镜不产生附加的光程差。二杨氏双缝实验1条纹的形成： 由两狭缝 S1 和 S2 出来的两束相干光在观察屏上各点叠加的结果。2光程差：dxD3明暗条件：dxk级明k(k 0, 1,
10、2,)D(k1/ 2)级暗kkDk级明xd(k0,1,2,)1 )(kD k级暗2d4条纹的特点： 以 P0为中心，明暗相间，相互平行，等间距的条纹， P0为明条纹，条纹间距：xDd三薄膜干涉P1薄膜干涉的光程差：222'2e n2n1s i n i/ 2 n1n2n3或 n1n2n3iD'n1n2n3或 n1n2n3n10AC2. 等倾干涉： 薄膜厚度均匀，入射光为非n2r平行光n3B图38明暗条件：2e n2sin 2 ik明/ 2(k1 )暗2干涉条纹： 决定于具有相同入射角的光线在透镜焦平面上交点的轨迹明暗相间的同心圆。3. 等厚干涉： 薄膜厚度不均匀，入射光为平行光明
11、暗条件k明2ne12(k)暗等厚干涉条纹的形状决定于e 相同处的轨迹。劈尖：相互平行，等间距的直条纹：(k1k级明)e22nxkk级暗2nx （条纹间距）2n牛顿环： 以接触点 C 为中心的明暗相间同心圆，相邻条纹不等间距，内疏外密。(k1 ) Rk级明r2eR2nRkk级暗n4迈克尔逊干涉仪条纹的形成： 由两平面镜 M 1 、 M 2 反射的两叠加的结果。明暗条件：kk级明2d级暗(k 1 / 2)k第四部分光的衍射一惠更斯 - 菲涅耳原理光的衍射的实质1惠更斯 - 菲涅耳原理： 波传播到各点，都可以视为发射子波的波源。从同一波阵面上各点发出的各子波，经传播而在空间各点相遇时，可相互迭加而产
12、生干涉现象。2光的衍射的实质： 波阵面上各点发出的子波在相遇点的迭加。二单缝夫琅和费衍射EKL 2L 1PSxOP0f1f2图151条纹的形成： 任意 P 的明暗情况决定于由狭缝上各点发出的沿OP 方向传播的平行光经透镜L 2 后在 P 点迭加的结果。2明暗条件：kk级暗纹a sin0零级明纹 (k 1,2,3)(k 1 / 2)k级明纹kf 2k级 暗 纹ax f 2 s i n0零 级 明 纹( k 1, 2, 3)(k1)f 2 k级 明 纹2a3衍射图样的特点：1）衍射图样为以P0 为对称，相互平行、明暗相间的条纹。各级明纹亮度不一，级数越大，亮度越小。2）零级明条纹的宽度是其它级明条
13、纹宽度的两倍：x02 f 2 , xkf2 ( k 0)aa3）零级明纹中心的位置取决于L 2 的位置。三圆孔夫琅和费衍射光学仪器的分辨率1圆孔夫琅和费衍射图样： 中心明斑（爱利斑），两边明暗相间的同心圆。爱利斑半张角：11.220.61RDr1f 2 11.22 Df20.61 R f 22光学仪器的分辨本领（1）几何光学与波动光学：波动光学 :形成衍射图样几何光学 :形成象 SD时，衍射图样点，波动光学几何光学。SS图 18（2）光学仪器的分辨本领：最小分辨角：11.22S1S1'mD分辨率： M1 / mS2S2'图 18四衍射光栅1条纹的形成： P 点的明暗决定于从各狭
14、缝出来的与 OP 平行的相干平行光在 P 点叠加的结果。EKL 2PxOP0f2图 202衍射图样的特点当 P 点的位置（由决定）满足光栅方程：(ab) s i nk(k0, 1, 2, 3)则 P 点为第 k 级主极大。在此处形成一亮而细的明条纹。各级主极大的亮度不一样，光强受到单缝衍射图样的调制。若 P 点的位置（由决定）同时满足：( a b) sink(k 0, 1, 2, 3)a sink(k'1,2,3)则位于 P 点的第 k 级主极大的亮度为零，该级主极大实际观察不到，称为缺级。第五部分光的偏振一光的偏振状态自然光： 无论在哪一个方向上光矢量的振动都不比其它方向占优势。线偏
15、振光： 光矢量始终沿某一方向振动。部分偏振光： 光矢量的振动沿某一方向比其它占优势。二偏振片与马吕斯定律1偏振片： 只让某一方向的光振动通过而吸收与这一方向垂直的光振动。2马吕斯定律： 强度为 I 0 的线偏振光，通过检偏振器后， 透射光的强度（不考虑光吸收）为II 0 cos2。强度为 I 0 的自然光，通过检偏振器后，透射光的强度为II 0 / 2三反射和折射时光的偏振1反射和折射时光的偏振入射光：自然光反射光：一般为部分偏振光，与入射面垂直的振动占优势。折射光：为部分偏振光，与入射面平行的振动占优势。2. 布儒斯特定律： 若入射角 i 0 满足：tani 0 n2 / n1 或 i0 r
16、/ 2（ i 0 称为布儒斯特角） 则为线偏振光，振动方向垂直入射面。第五章气体动理论热学引言自然界的运动方式是多种多样的，除了机械运动、电磁运动以外，还有许多是与物质的“冷热”状态有关的“ 热运动 ”。通常用温度表示物体的冷热程度（只有相对意义，并不准确），实验表明：当物体的温度发生变化时， 它的许多物理性质都将发生变化（例如：热胀冷缩，固、液、汽三相转变等），我们将其统称为“ 热现象 ”。热学就是研究热运动性质，分析热现象规律的科学。十八世纪以前物理学界曾信奉“ 热质说 ”（曾经提出所谓热质守恒定律），只是在物质的分子结构学说建立以后，特别是焦耳完成大量“热功当量”实验以后，人们才开始认识
17、到，物质内并不存在什么热质，存在的是不断运动着的分子、原子。热本质上来源于运动物质内分子、原子的无规则运动，而温度则是这种无规则运动剧烈程度的量度。在热学中，通常将所研究的对象设置为 “热力学系统 ”，简称“ 系统 ”，系统以外则为“ 外界 ”。一般情况下，系统与外界总存在相互作用，并伴随能量和质量的迁移。如果系统与外界完全隔绝，则称为“孤立系统 ”。要研究系统的性质，就应对其状态加以描述，在热学中有两种描述方法：1）宏观描述法 从宏观上、整体上加以描述宏观量（可直接测量，能直接感知）P、T 等2）微观描述法 在微观上、从个体开始加以描述微观量（不可直接测量，不能直接感知）v 、等讨论：宏观物
18、体所发生的各种物理现象都是它所包含的大量微观粒子运动的集体表现，因此宏观量总是一些相应的微观量的统计平均值。§5-1气体动理论的基本概念一、分子热运动的基本特征1、宏观物体（气体）是由大量分子、原子构成的分子之间存在一定的间隙，而气体分子间的间隔很大。2、分子处在永恒的热运动中，而且这种运动是不规则的。跟踪分析单个分子的运动细节，既不现实，也无必要。对微观量的分析，应该采取统计的方法，关注微观量的统计平均值。3、分子间存在一定的作用力不同分子间作用力的变化规律是相似的r0分子的有效直径（ 10 10 m ）rm分子的作用力程（10 1010 8 m短程力）分子力的本质是库仑力，因此可
19、引入“分子间势能”的概念。4、气体分子间存在非常频繁的碰撞v : 102103 m sz : 1010 s 1二、平衡态对一个孤立系统，无论其初始状态如何，经过一段时间后，必然会达到一个稳定的，宏观性质不随时间变化的状态平衡态讨论：1、状态稳定不一定就是平衡态（稳定态平衡态）系统受恒定的外界影响面达到的稳定态不是平衡态。2、平衡态是一种 热动平衡平衡态只是宏观上的“寂静状态”，微观上大量分子仍在作永不停息的热运动，只是这种运动的平均效果不变而已。宏观上的“静”正是依靠微观上的“动”来实现的。3、只有在平衡态下，系统才可用一组为数不多的状态参量来描述一个平衡态一组宏观状态参量状态图上一定点
20、67;5-2理想气体的状态方程一、气体的状态参量1、体积 V （容积）几何参量：代表气体分子能够到达的空间范围单位： m31l (dm3)10 3 m32、压强 P力学参量：代表大量气体分子在和器壁非常频繁的碰撞中形成的宏观力学效应。单位： Pa (N m2 )atm1atm1.013 105 Pa105 Pa3、温度 T热学参量：代表分子热运动的剧烈程度一切互为热平衡的物体具有相同的温度“热力学第零定律 ”热力学温标温度的数值表示温标 t c 摄氏温标 t c二、理想气体的状态方程一种气体，无穷其化学成份如何， 只要它的温度不太低 （与室温相比），压强不太大（与大气压相比），均可视为 理想气
21、体 ，其三个状态参量间满足以下状态方程：PVMRTRTM molR 8.31Jmol 1 K 1 （理想气体普适常数）讨论：1、M N mM molN A mP1Nm RTN R TVN AmV N A定义：分子数密度nNV玻尔兹曼常数kR1.3810 23JK 1N A则可得理想气体状态方程的另一种形式：PnkTPV TC2、PVRT（理想气体的 过程方程 ）PV11T1PV22T2例 5-1 P167 例题 5-2解：已知M mol32 10 3 kg ， M0.10kg ， P 10105 Pa ， T 320K故有：VMRT8.31103 m3M mol P又当： P(5 8)P，T3
22、00K(15 16)T 时M mol P V(5152MRT8)MM163MMM3.33 10 2 kg例 5-2一容积为 11.2 升的容器已被抽到1.010 5 mmHg 的真空，为提高其真空度，将其放在300 c 的烤箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体分子。若烘烤后压强增为1.010 2 mmHg ，问原来吸附了多少分子？解烧烤前：P0、T0、n0P0n0kT00PV N0kT0烧烤后： P 、 T 、 nPnkTPVNkTNNN0PVPVV ( PPPV(PT1800 )1) 1.88 10kT kT0k T T0kT P0T0个§ 5- 理想气体的压强和温度一、理想气体的分
23、子模型和统计假设1、关于每个分子力学性质的假设1）分子本身线度远小于分子间距，可忽略；2）除碰撞瞬时外，可忽略分子间相互作用；3）气体分子间，气体分子与器壁间的碰撞是完全弹性的；4）分子的运动遵从经典力学规律。每个分子均可视为彼此间无相互作用的弹性质点。2、关于分子整体的统计性假设1）平衡态时，气体分子按位置的分布是均匀的：dNNndVV2）平衡态时，气体分子按速度方向的分布是均匀的：vxvyvz0vx2vy2vz21 v23二、理想气体的压强公式按气体动理论的观点，气体的压强是由大量气体分子在和器壁频繁的碰撞中形成的，在数值上等于单位时间内作用于器壁单位面积上的总冲量：PdIdt dS为推导
24、压强公式，可先设想将分子按速度区间分组：第 i 组： vividv ，并设该组的分子数密度为ni显然，总分子数密度：nn1n2ni1）第 i 组内的一个分子与器壁碰撞一次的结果m : vixvix2mvix2） dt 时间内第 i 组内分子与器壁碰撞的结果v dtv dtv dtdSn v dtdSn vdtdS 2mv2mnv2 dtdSiixixi ixiixixiix3） dt 时间内所有分子与器壁碰撞的结果dI2mnviix2dtdSmnviix2dtdSvix 0PdImnivix2mnvx2dt dS即：P1nmv23定义分子的 平均平动动能 ：t 1 mv22则有：P 2 n t
25、3讨论：1、气体压强面对“大量”气体分子，是一个统计量；2、压强公式是三个统计量间的一条统计规律 。三、理想气体的温度公式P2 nt1mv23kT3t22PnkT讨论：1、各种理想气体分子的平均平动动能只与温度有关，且与热力学温度T 成正比；2、温度公式揭示了温度的微观意义：温度标志着物质内部分子运动的剧烈程度，而这种剧烈程度可定量地用t 表述；3、温度公式揭示了温度的统计意义：温度描述的是大量分子的整体行为，对少数分子可以谈及平均动能，但谈及温度是没有意义的。四、方均根速率t1 mv 23 kT22v23kT3RTmM mol讨论：理想气体分子的方均根速率不仅取决于温度，而且与分子的质量或气
26、体的摩尔质量有关。例 5-3 P176例题 5-4t3 kTc K2t 17.7110 21Jt 25.6510 21Jt 32.5510 21Jv215.74 102m sv23RTM mol g kgv224.93 102 m sM molv23.31 102m s3§5-4理想气体的内能在讨论理想气体分子与器壁碰撞形成压强时，可不考虑其内部结构将其视为质点，但在分析分子系统的能量时，由必须注意到这些分子事实上都有一定的大小和较复杂的结构，不能只考虑平动动能，还应考虑是否有转动动能等。一、气体分子的自由度1、自由度的概念自由度本身是一个力学概念，代表物体在空间运动的自由程度，物体
27、运动的自由度越高，则确定它在空间的位置所需的坐标参数就越多，所以可将自由度定义为完全确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标个数。质点：有 3 个自由度，均为平动自由度t3 ；刚体：有 6 个自由度，3 个为平动自由度 t 3 ，3 个为转动自由度 r 3；棒状刚体：有 5 个自由度， 3 个为平动自由度 t 3 ，2 个为转动自由度r2 。2、气体分子的自由度在讨论分子热运动能量时，可不计原子内部结构将其视为质点，同时不考虑原子间的“振动”将分子视为刚性的。1）单原子分子：可直接视为质点t3；2）双原子分子：可视为棒状刚体t3r2；3）多原子分子：可视为一般刚体t3r3。气体分子的总自由度：3
28、 单原子分子itr3r5 刚性双原子分子6 刚性多原子分子二、能均分定理注意到每个分子均有三个平动自由度，可将平动动能拆分为：t1 mv21 mvx21 mvy 21 mvz23 kT22222已知在平衡态下：vx2vy2vz21 v231 mvx21 mvy 21 mvz21 kT2222即分子的平均平动动能被均匀分配在三个平动自由度上，显然这是大量分子无规则热运动的体现，是分子间频繁碰撞的结果。这种能量均匀分配情况，在分子有转动时，还会自然地扩展到转动自由度上，即通过分子间非常频繁的碰撞和作用，分子和分子之间，同一分子的不同自由度之间都在不停地交换和迁移能量，使得任一自由度上都不具备能量上
29、的特殊性。即：在温度为T 的平衡态下，物体分子的每个自由度平均得到一份动能：kT 2根据能均分定理，一自由度为i 的刚性理想气体分子的平均动能：3 kT单原子分子i 1 kTi kT25刚性双原子分子kT2223kT 刚性多原子分子三、理想气体的内能内能分子热运动动能分子间势能原子内部能量电离能化学能核能对理想气体 :可忽略可不计保持不变理想气体内能所有分子热运动动能总和1 摩尔理想气体的内能iiEmol N 0N 0 2kT2RT由此可得：Ei RTMi RT2M mol 2讨论：内能是状态量 ，理想气体分子的内能不仅是状态的单值函数，而且是温度的单值函数。例 5-4容器中装有质量密度为，摩
30、尔质量为 M mol ，自由度为 i 的理想气体，容器在以速度u 运动过程中突然停下来，求气体的温度和压强各上升多少？解1 Mu 2EMi R TTM mol u22M mol2iR又MRT 且V 不变PVM molP1 MR Tu2V M moli§5-5麦克斯韦速率分布率一、速率分布函数在平衡态下，理想气体分子按速度方向的分布是均匀的，但显然按速度大小（速率）的分布不可能是均匀的，应如何分析其分布规律？正确的方法是：说明在总数为N （ N 很大！）的气体分子系统中，速率处在任一小速率区间vvdv 的分子数占总分子数的百分比dN N 有多少。可以理解这一百分比与所取速率间隔dv 的
31、大小有关，在 dv 足够小的情况下，应与 dv 成正比；其次与速率v 的大小有关，即应为速率v 的函数，即有：dNNf (v)dv这里：f (v)dNN dv称为速率分布函数，其物理意义是在任一速率 v 附近单位间隔内的分子数占总分子数的百分比。若已知 f (v) ，则有：vvdv :dNNf (v)dvv1v2 :Nv1 v2v2Nf (v)dvv10:Nf (v)dvN0即：f (v) dv10上式即为任一速率分布函数均应满足的归一化条件。二、麦克斯韦速率分布率可以证明，平衡态下理想气体分子速率分布遵从以下分布规律：dN4 (m )3 2 e mv2 2 kT v2 dvN2kTm即：f
32、(v) 4()3 2 e mv2 2kT v22kT讨论：1、速率分布曲线的意义：1）窄条矩形的面积：f (v)dvdN N在该小速率区间内的分子数占总分子数的百分比；同时代表了一个分子的速率取在该小速率区间内的几率。v2N2）曲边梯形的面积：f (v) dv Nv v12v1在该速率区间内的分子数占总分子数的百分比；同时代表了一个分子的速率取在该速率区间内的几率。3）曲线下的总面积：f (v)dv 10归一化条件。2 、存在一最概然速率2kTvpm意义：将整个速率区间分成许多相等的小间隔，则vp 所在间隔内的分子数最多；或者说一个分子处在该间隔内的几率最大。3、速率分布函数不仅是速率的函数，
33、而且与两个参数，即气体温度T和分子质量 m （气体摩尔质量 M mol ）有关1） Tvp曲线变得较为平坦，且向高速区扩展意义：随着温度的升高，有更多的分子处于高速区。温度高，并不代表所有分子在所有时候的动能大，这是一个统计平均的概念。2） mvp曲线变得较为陡峭，且向低速区收缩意义：温度不变，说明气体分子的平均平动动能不变，所以分子质量越大，速率越小。4 、麦克斯韦速率分布率是统计规律， 只适用于大量分子的系统， dv 应理解为物理无穷小（ dN N 很小，但 dN 仍很大），谈及速率正好是某一定值（ dv 0 ），例如 v vp 的分子数是多少是没有意义的。三、三种统计速率1、最概然速率v
34、pdf (v)0vp2kT2RTRTmM mol1.41dvvv pM mol2、平均速率 vvvdNvf (v)dvv8kT8RTRTm1.60M molM mol3、方均根速率v2v2v2dNv2 f (v)dvv23kT3RT1.73RTmM molM mol例 5-5 容器中装有某种理想气体，已知：T273KP1.010 2 atm1.25 10 2 kg m3 ，试求1）单位体积内的分子数；2）平均速率和方均根速率；3）分子间的平均距离；4）气体摩尔质量，是何种气体？5）单位体积中的总内能。解 1） np2.69 10 23 m 3kT2）8RT8PVM mol8PvM mol M4
35、54 m sM molv23RT3P494m sM mol3）n1m311l311.93 108mnn4） M molMRTRT28 10 3 kg molPVP或 mnkTM molN 0mRT28 10 3 kg mol为 N2 （ CO ）PP5） En ikTiP2.5103J(i5)2 2例 5-6 P184 例题 5-6解当v 很小时N(v)dvf (v) vfNm4 ()3 2 e mv2 2kT v2 v2 kT43v2 v p2v2vvpe令v ，则： N4e22vpN现10.01N1.66%N例 5-7设有 N 个粒子，其速率分布曲线如图所示，试求：1）常数 a2）速率大于
36、 v0 和小于 v0 的分子数3）粒子的平均速率av v0vv0解： 1）由图可知： f (v) av vv00vv0f (v) dvv0a vdv2v0adv1 av0a(2v0 v0 ) 100v0v022） N v v0Nf (v)dva2 3v01 N00N 2 v dvv0v03v0v03N v v2v02v02 dv2 NNf (v)dvN0v0v03v033） vvf (v)dvv2v dv2vdvv02v003v0v0v03v011 v09§5-6玻尔兹曼分布率一、重力场中粒子按高度的分布PP dPSdhg SdPgdhmndPmgndhmgndhkTdnPnkTdP
37、kTdn即ndnh mgndhn00 kTnn0 e mgh kT讨论：1、之所以形成这样的分布，是重力与分子热运动共同作用的结果若忽略重力作用, 则 nn0粒子均匀分布若不计热运动, 则 n h 00粒子全部坠落2、P nkTn0 kTe mgh kTP0e mgh kThkT ln P0RTln P0mgPM mol gP二、玻尔兹曼分布率重力场：Epmghnn0emgh kTn n0eEP kT推广到一般的外力场：EpEP ( x, y, z) ，可得玻尔兹曼分布律：n n(x, y, z)n0e E P ( x, y, z) kT考虑麦克斯韦速率分布律dN N (m )3 2 e mv
38、2 2kT 4 v2 dvN (m ) 3 2 e mv2 2 kT dvxdv ydvz2kT2kT可将玻尔兹曼分布律推广为：nn0e( Ek EP ) kTn0 e E kT表明粒子总是优先处于能量较低的状态。§5-7分子碰撞和平均自由程一、分子的平均碰撞频率一个分子在单位时间内与其它分子碰撞的平均次数：z分子间的碰撞，本质上是在分子力作用下的散射过程，为便于分析，可将分子视为有一定直径d 的刚性小球。为分析 z ，可设想跟踪一个分子A，计算它在单位时间内与多少分子相碰。由于对分子的碰撞频率而言，重要的是分子间的相对运动速率，所以可设定分子 A 以平均相对速率 u 运动，而其它分子均不动考虑到分子 A 不断地与其它分子相碰，它的轨迹是一条十分曲折的折线，而在一定的时间t 内，分子 A 扫过了一个长度为u t ，横截面积为d 2的折线形圆柱体空间，凡中心落在此空间内的圆柱体都将在t 时间内与分子 A相碰。zn d 2utn d 2ut可以证明：u2v故：z2d 2 nv二、分子的平均自由程分子在再次碰撞之间自由运动的平均路程：vtvztz即：1kTd 2n2 d 2 p2例5-8 P191例题 5-8v8RT1.70103 m s解：M molv8.10 109s1kTz2.1010 7 m2 d 2 p
