第一二节大数定律及中心极限定理5-1,2

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1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理教学内容教学内容 1 大数定律大数定律 2 中心极限定理中心极限定理教学重点教学重点 中心极限定理的应用中心极限定理的应用 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率 有有稳稳定定性性测测量量值值的的算算术术平平均均值值具具某某一一常常数数事事件件发发生生的的频频率率稳稳定定于于这种这种稳定性稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背静就是本节所要讨论的大数定律的客观背静一一 依概率收敛定义及性质依概率收敛定义

2、及性质 定义定义，有，有若对于任意正数若对于任意正数一个常数一个常数是是是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，设设 .,21aYYYnlim |1nnP Ya.,21aYaYYYPnn记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称序列则称序列性质性质).,(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn 连连续续，则则点点在在又又设设函函数数，设设请注意请注意 : .10可能性很小可能性很小生的生的的发生，而只是说他发的发生，而只是说他发并不排除事件并不排除事件；的概率很大，接近于的概率很大，接近于充分大时，事件充分大时，事件当当，意味着对任意给定的，意味着对任意给定的依概率收敛于依

3、概率收敛于 XXXXnaXnnn.定定性性弱弱些些，它它具具有有某某种种不不确确中中的的普普通通意意义义下下的的收收敛敛依依概概率率收收敛敛比比高高等等数数学学二、大数定律二、大数定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫切比雪夫 则对任意的则对任意的0，有，有学学期期望望和和方方差差：独独立立，且且具具有有相相同同的的数数相相互互，设设随随机机变变量量,21nXXX21 2(),()(, ,).kkE XD Xk1|1|lim1 niinXnP|lim XPn11XnnkkX 做前做前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均证证 nkkXnE11由于由于

4、nn1 nkkXEn1)(1 nkkXnD11 nkkXDn12)(1nnn2221 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式22111 nXnPnkk 上式中令上式中令 n得得1|1|lim1 niinXnP说明说明.,2 , 1XE1X,211有有的的稳稳定定性性），这这种种接接近近说说明明其其具具（）（接接近近数数学学期期望望的的算算术术平平均均随随机机变变量量定定理理以以数数学学形形式式证证明明了了、nkXnXXkniin . 1|1|11于于时时，这这个个事事件件的的概概率率趋趋当当是是指指一一个个随随机机事事件件，、定定理理中中 nXnnii .常常数数收收敛敛的的意意义义下下逼逼近近某某

5、一一算算术术平平均均值值是是依依概概率率这这种种稳稳定定性性的的含含义义说说明明.1), 2 , 1()(,)(,1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX，即，即依概率收敛于依概率收敛于，则序列，则序列差：差：有相同的数学期望和方有相同的数学期望和方相互独立，且具相互独立，且具，设随机变量设随机变量1定理 的另一种叙述形式问题问题 :伯努利伯努利 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，nnA是事件是事件A发生的频率发生的频率.是是否否具具有有稳稳定定性性呢呢？替替事事件件的的概概率率，频频率率事事件件发发生生

6、的的频频率率能能否否代代 设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生在每次试验中发生的概率，则对于任意正数的概率，则对于任意正数 0 ，有，有 定理定理2（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）1|lim pnnPAn或或 伯努利伯努利0|lim pnnPAn证明证明nAAXXXnpnbn 21),(由此可表示为由此可表示为因为因为),1()()(.10ppXDpXEpkk ，因因而而分分布布）以以为为参参数数的的（从从以以其其中中相相互互独独立立，且且都都服服即即得得由由定定理理11|)(1|lim21 pXXXnPnn|

7、lim pnnPAn 证毕证毕注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.0|lim pnnPAn或或.替替事事件件的的概概率率事事件件发发生生的的频频率率可可以以代代此定理说明了频率的稳定性此定理说明了频率的稳定性下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 相互独立，相互独立，服从同一分布，具有数学期服从同一分布，具有

8、数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数则对于任意正数 ，有，有定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦辛钦 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径值提供了一条实际可行的途径.注注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性. 要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量 ，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地. 计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用

9、它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计产量的一个估计.例例 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球，的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码号码. 否则次取到号码第001kXk 设设，k=1,2, 问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？nkknXnP11| 1 . 01|lim 即即对对任意的任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数定

10、律数定律.小结小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：象最根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性 2)()( kkXDXE )(kXE),(pnbnA大大数数定定律律伯伯努努利利1|lim pnnPAn大大数数定定律律切切比比雪雪夫夫1|1|lim1 niinXnP大大数数定定律律辛辛钦钦1|1|lim1 niinXnP 所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某

11、种收敛性来刻画。来刻画。 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机因随机因素的对素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小的的.那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪 ？ 如果一个随机变量是