《应用微积分》84无穷级数

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1、主讲教师： 第 8 章 无穷级数 级数的概念与性质级数的概念与性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法幂级数幂级数123 级数的内涵级数的内涵 级数的敛散级数的敛散 级数的训练级数的训练给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1nnu称上式为称上式为无穷级数无穷级数.级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1nuuuu321次相加次相加, 简记为简记为1nnuS,lim不存在若nnS则称无穷则称无穷级数发散级数发散 .称为级数的称为级数的部分和部分和.,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称则称无穷级数无穷级数并称并称 S 为为级数的和级数的和, 记作记作定义定义8.1等比级数

2、(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn参照级数：参照级数：1q时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;1q时时, 等比级数发散等比级数发散 . 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性;)98(0 nn（2）;)31(1000 nn（3）.)3(0 nne （1）需要记住！需要记住！讨论级数讨论级数 0)(nnex的敛散性的敛散性. 0)(nnex是公比为是公比为exq 的等比级数，则当的等比级数，则当1 ex即即ex 时，级数收敛，且时，级数收敛，且xeeexexnn 11)(0当当1 ex, 即即ex 时，级数发散。时，级数发散。解解例例 1级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每

3、一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .1 1收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. .2 2收敛级数加括弧后所成的级数收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和仍然收敛于原来的和. .3 3设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu;)1()1(0 nn; 3)2(0 n;)11()3(1 nnn;1sin)4(1 nnn.)21(11)5(1 nn 观察下列级数的敛散性：观察下列级数的敛散性：由于一般项不趋于由于一般项不趋于0，因而都发散。，因而都发

4、散。 定理 8.1性质性质负项级数正项级数任意级数交错级数 级数敛散级数敛散数项判断数项判断8.4.2（1）若若,0nu1nnu则称则称为为正项级数正项级数 . nSSS21.有有界界正正项项级级数数收收敛敛nS即：部分和数列即：部分和数列 nS特征：特征：于是有：于是有：正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件定义定义8.3可否推广呢？如何推广可否推广呢？如何推广思考思考均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu 审敛法审敛法1比较法比较法大收大收 小收小收小发小发 大发大发), 2, 1( nvunn 定理 8.3均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu大收大

5、收 小收小收小发小发 大发大发), 0(Nnkkvunn推论8.28.2 级数级数 的敛散性，的敛散性，(其中其中 是实数是实数) 11npn pp p级数级数 发散发散收敛收敛, 1, 111ppnnp【注】【注】 （1）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；）使用比较法的关键是找到合适的参照级数；（2）调和、等比和）调和、等比和P-级数是最常用的参照级数。级数是最常用的参照级数。 请记住这个参照级数请记住这个参照级数 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 22211313121211nn 因为因为 , 1111lim2 nnnn而级数而级数 11nn级数发散级数发散发散，发散，解解例例2设设

6、 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果,limlvunnn 定理定理8.4 比较法比较法极限形式极限形式（更加方便）（更加方便）其中其中0 l ，则级数，则级数1nnv1nnu与与敛散性相同。敛散性相同。 定理 8.4 111)(lim1llllluunnn发发散散不不定定收收敛敛数数或或则则比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. 比较比较比较审敛法的缺点比较审敛法的缺点: 必须找参考级数必须找参考级数.定理定理8.5 审敛法审敛法2比值法比值法【注】【注】 级数中含有级数中含有“阶乘阶乘”时，通常使用比值法。时，通常使用比值法。 定理 8.

7、5)!2()!1()!1()!22( !lim lim 1nnnnnnuunnnn )!2()!1()!1()!2)(12)(22( !lim nnnnnnnnn )1)(1()12)(22(lim nnnnn14 根据比值法可知原级数发散根据比值法可知原级数发散 判别级数判别级数 1!)!2(nnnn 的收敛性的收敛性. 解解例例3 111)(limlllllunnn发发散散不不定定收收敛敛数数或或则则nnnnnnuuu1limlim 由数学分析知识有结论：由数学分析知识有结论：定理定理8.6 （审敛法（审敛法3 根值法）根值法）【备注】【备注】比值和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。比值

8、和根值审敛法一个失效时，另一个也失效。 定理 8.6,1 nnu.为为任任意意实实数数其其中中nu分类：分类：,.);3 , 2 , 1(0)1( nun,.);3 , 2 , 1(0)2( nun;)3(中有限项为正中有限项为正nu;)4(中中有有限限项项为为负负nu.,)5(负项也无穷多负项也无穷多中正项无穷多中正项无穷多nu 任意项级数是指对级数任意项级数是指对级数 级数敛散级数敛散其余如何判断？其余如何判断？ 1nnu为正项级数。为正项级数。不难发现：不难发现： 考虑：考虑：可否利用级数可否利用级数 的敛散性，来考察的敛散性，来考察 的敛散性。的敛散性。 1nnu 1nnu需首先引入需

9、首先引入绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛的概念。的概念。 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原级则称原级111) 1(nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .绝对收敛绝对收敛.【如】【如】 绝对收敛绝对收敛 ；则称则称原级数原级数条件收敛条件收敛 .定义定义8.4思思 考考?,)1(11是是否否收收敛敛收收敛敛 nnnnuu?,)2(11是是否否发发散散发发散散 nnnnuu?)3(1的的敛敛散散性性如如何何判判别别 nnu！ 结论：结论：绝对收敛绝

10、对收敛 收敛。收敛。.,11可可能能发发散散可可能能收收敛敛发发散散说说明明 nnnnuu 定理 8.7?1的的敛敛散散性性如如何何判判别别试试问问： nnu由于由于1nnu是正项级数，故把正项级数的审敛法是正项级数，故把正项级数的审敛法稍作修改，得到它的比值法和根值法。稍作修改，得到它的比值法和根值法。 修正的比值法（根值法）修正的比值法（根值法） nnnnnnuuulimlim1或若则有则有 定理 8.8绝对收敛。时，级数）当（111nnu发散。时，级数）当（112nnu可能收敛，可能发散。时，级数）当（113nnu的的敛敛散散性性。判判断断级级数数 1nnnxxnnxxuunnnnnn

11、1limlim11讨论如下：讨论如下：时时，1 x绝绝对对收收敛敛；级级数数 1nnnx时时，1 x发发散散；级级数数 1nnnx时时，1 x，级级数数 111nnnnnx级级数数发发散散；时，时，1 x，级级数数 112ln)1(nnnnnnx级级数数条条件件收收敛敛。解解例例4 交错级数：各项符号正负相间如交错级数：各项符号正负相间如nnuuuu1321) 1(的级数的级数 .其中其中 (Leibnitz 判别法判别法) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其其.1