第2章 近世代数.

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1、1第第2 2章章 近世代数简介近世代数简介 线性分组码中最重要的一个子类-循环码循环码(RS、BCH码码)，它的结构完全建立在有限域有限域的基础之上，被称为代数几何码。代数几何码。 有限域有限域以近世代数以近世代数为基础。 近世代数的运算对象近世代数的运算对象：整数、多项式、矩阵等。22.1 2.1 几个概念几个概念1. 质数（素数）质数（素数） 一个大于一个大于1 1的正整数的正整数，只能被1和它本身整除。2. 合数合数一个一个大于大于1 1的正整数的正整数，除了能被1和本身整除以外，还能被其他的正整数整除。例例2-12-12，3，5，7，9，11，13，17，19都是质数；4，6，8，9，

2、10，都是合数；这样，全体正整数又分为：全体素数和全体合数。33. 3. 群群(Group)(Group)设G是非空集合 (set)，并在G内定义了一种代数运算(operation) “ 。”，若满足下述公理：（1）具有封闭性 (is closed)；（2）结合率 成立(is associative) ；（3）G中有一个恒等元e 存在( exist an identity element)；（4）有逆元 存在 (contain an inverse element) 。称称G G构成一个群构成一个群。4（1）加群( (addition group) ) 、乘群( (multiplication

3、 group) ) （针对群中的运算）（2）群的阶（针对群中元素的个数）（3）有限群( (finite group) )、无限群( (infinite group) ) （针对群中元素的个数） （4）交换群( (commutative group) )或阿贝尔群( (Abel group) ) （针对群中的运算） 5例例2-22-2 G1：整数全体。 对加法构成群对加法构成群，无限加群； 对乘法不够成群对乘法不够成群。Why? G2：实数全体。 对加法构成群； 除0元素之外的全体实数，对乘法构成群。 单位元e=1。 G1和G2有都是阿贝尔群阿贝尔群，且都是无限群。群群将将 和和 联系在一起？联

4、系在一起？64. 4. 域域 (Field)(Field) 对于非空元素集合F F，若在F中定义了加法(addition)和乘法(multiplication)两种运算，且满足下面的公理：（1）F关于加法构成阿贝尔群阿贝尔群，其加法恒等加法恒等元元记为0；（2）F中非非0 0元素全体元素全体对乘法构成阿贝尔群，其乘法恒等元（单位元）乘法恒等元（单位元）记为1。（3）加法和乘法之间满足如下分配率(distributive) ：则则称称F F是一个域是一个域。cabaacbacabcba)()(7（1）域的阶（针对群中元素的个数），记为q。（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为： GF(q

5、)。域域将将 和和 联系在一起？联系在一起？8例例2-32-3 F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都分别构成域，分别称为有理数域和实数域。 F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域中只有两个元素，记为GF(2)。9 定理：定理： 设p为质数，则整数全体对p取模的剩余类：0，1，2，p-1，在模p的运算下（p模相加和相乘），构成p阶有限域阶有限域GF(p)。例例2-4 验证以p=3为模的剩余类全体：0，1，2构成一个有限域GF(3)。+012001211202201012000010122021105. 5. 循环群循环群 如果一个元素一个元素 的各次幂幂 0， 1， 2 ，的全体构成了一

6、个群，称为循环群循环群（cycle group），），元素称为生成元生成元或者本原元本原元（primitive element） 。 记作：G= 0， 1， 2 ，其中 0 = e 是单位元。 可以证明，有限域GF(q)的q-1q-1个非个非0 0元素元素，在模模q q乘运算下乘运算下，可以构成一个循环群（幂群），即G上的所有非0元素可以由一个元素的各次次幂幂 0， 1， 2 ， q-1生成生成。11例例2-52-5 q=5 的伽逻华域GF(5)=0,1,2,3,4， 非零元素为非零元素为1,2,3,4 模5乘运算。 恒等元？加法恒等元？乘法恒等元？ 为了弄清那些元素是为了弄清那些元素是本原元

7、本原元，分别计算各元素的各次幂。12GF(5)中非零元素的幂零元素的幂、阶及其逆元阶及其逆元元素各 次 幂元素的阶加法逆元乘法逆元01231111114121243（8）4333134（9）2（27）4224141（16） 4（64）214（1）元素的阶（能产生域元素的个数）：（2）2、3都是本原元；（3）1、4不是本原元（生成元）。136. 6. 环（环（RingRing） 定义：在非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足：（1）集合R在加法运算下构成阿贝尔群；（2）乘法有封闭性，对于任何a,bR，有ab R；（3）乘法结合率成立，且加法和乘法之间分配率成立，即对任何a,bR，有a(

8、b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca则称称R R是一个环是一个环。14环环将将 和和 联系在一起？联系在一起？ What is the relationship with Group, Field and Ring? What is the difference between Field and Ring?152.2 2.2 多项式剩余类环多项式剩余类环1.1.域上多项式的定义域上多项式的定义 多项式与码字的关系：桥梁； 多项式的系数表示 ； x的幂次表示 ； 域上的多项式 针对系数定义； 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的多项式。 q进制系数的多项式，称为q元域GF(

9、q)上的多项式。 群、环、域对多项式也成立。16域上多项式：域上多项式： GF(q)上上多项式的定义：0111.)(fxfxfxfxfnnnn),.,2, 1, 0()(niqGFfi17(1) 多项式两要素：系数和幂次多项式两要素：系数和幂次(2) 多项式幂次多项式幂次(3) 首一多项式首一多项式(4) 最简首一多项式最简首一多项式(5) 多项式的有限性分析多项式的有限性分析182. 2. 多项式剩余类环存在定理多项式剩余类环存在定理 有限有限 域域GF(q)上上 多项式多项式若以若以f( (t) )为模，对全体多项式做为模，对全体多项式做模乘模乘运算，运算，q q为模，对系数做为模，对系数

10、做模加模加运算运算，得到的得到的多项式多项式剩余类剩余类的全体，的全体，可以构成一个交换环，称为多项式剩余类环，记为多项式剩余类环，记为Rq(x)f(x)。0)(,.)(0111xffxfxfxfxfnnnn19 系数对q模加，多项式对f(x)f(x)模模乘运算： A(x)、B(x)是两个环元素，用q模加 用f(x)模乘iiniiinixbxBxaxA1010)()(和iqiinixbaxBxAmod10)()()()(modmod1010)()()(xfjiqjinjnixbaxBxA 20 若多项式 f (x) 的最高次幂n=m，有限域为GF(q)。 多项式剩余环类Rq(x)f(x)中 环

11、元素环元素的最高次数最高次数为 ； 多项式的一般形式一般形式为： 这个环这个环中共有中共有 个元素？个元素？121210.(),0,1, 2,.,1mmmmiaxaxa xaaG Fqim21例例2-62-6 剩余类环为Rq(x)f(x)，q=2，f (x)=x3+x+1。 若A(x)=x2+x+1，B(x)=x2+1是两个多项式多项式。 求（1）求对A(x)B(x) 取模的剩余多项式？ （2） A(x)B(x)构成的剩余类环最多有多少个元素？ 解：（1）多项式乘法运算）多项式乘法运算22432243( )( )(1)(1)11A xB xxxxxxxxxxxx2211111232324343