《定积分的概念(高中数学人教A版选修)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的概念(高中数学人教A版选修)（99页珍藏版）》请在文档大全上搜索。
1、1.51.5定积分的概念定积分的概念1 15.15.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积导数及其应用问题1： 求由直线y0，x2, x4和yx所 围成的平面图形的面积求梯形的面积解析：这些直线围成的平面图形是如图阴影部分所示的梯形，梯形的面积为S 26.1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲在直角坐标系中，由连续曲线线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形轴所围成的图形叫做曲边梯形。叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b1.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（
2、曲边三所围成的图形（曲边三角形）面积角形）面积S是多少？是多少？x yO1方案方案1方案方案2方案方案3为了计算曲边三角形的面积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代以直代曲曲” 。 y = f(x)bax yO A1 A1 A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代
3、替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A近似为近似为A1AiAn分割越细，面积的近似值就越精确。当分分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细
4、时，这个近似值就无限逼近所割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案下面用第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 （2） 近似代换近似代换n1)n1i(x)n1i(fS2i（3）求和）求和)211)(11(316)12
5、()1(n1)1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS322223n1i2n1in1iin21nnnnn （4）取极限）取极限。面面积积为为，即即所所求求曲曲边边三三角角形形的的所所以以，从从而而趋趋向向时时，亦亦即即当当分分割割无无限限变变细细，即即3131S31)211)(11(31lim)1(1limlimS)211)(11(31)n(0 xn1nn nnnifnSSnnSninn分割分割近似代换近似代换求和求和取极限取极限分割，求和，取极限 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），
6、从在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示来近似表示小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积x)f(xx)f(xx)x(fn21 表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值演示 y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在 a, b中任意插入 n 1个分点得n个小区间： xi1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形任取xi
7、 xi1，xi ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面积区间xi1 , xi 的长度xi xi xi1 曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(x曲边梯形的面积近似为：Aniiixf1)(x y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1) f(x2) f(xi)xi在 a, b中任意插入 n 1个分点得n个小区间： xi1 , xi (i=1, 2 , , n)区间xi1 , xi 的长度xi xi xi1 观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关
8、系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形
9、面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示
10、，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。跟踪
11、训练如图，求直线x0，x3，y0与二次函数f(x)x22x3所围成的曲边梯形的面积分析：按照“分割近似代替求和取极限”的步骤进行解析：(1)分割如上图，将区间0,3n等分，则每个区间 (i1,2，n)的长度为x .分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形(2)近似代替以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形则当n很大时，用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S.(3)求和2在区间a，b上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间，则每个小区间的长度为_1函数f(x)x2在区间 上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)
12、的值变化很小解析：函数f(x)x2在区间 上，随着n的增大，f(x)的值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D2当n很大时，函数f(x)x2在区间 上的值可以用下列哪个值近似代替()AfBfCf Df(0)解析：当n很大时，f(x)x2在区间 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替答案：C1函数f(x)x2在区间 上()Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小解析：函数f(x)x2在区间 上，随着n的增大，f(x)的值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小答案：D
13、2当n很大时，函数f(x)x2在区间 上的值可以用下列哪个值近似代替()AfBfCf Df(0)解析：当n很大时，f(x)x2在区间 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替答案：C求解曲边梯形的面积是用“以直代曲”和逼近的思想方法；其步骤为：分割；近似代替；求和；取极限1.51.5定积分的概念定积分的概念1 15.25.2汽车行驶的路程汽车行驶的路程导数及其应用1通过实际例子，进一步了解用“以直代曲”和逼近的思想方法求解变速直线运动的路程2从问题情境中了解定积分的实际背景，初步了解定积分的概念1如果物体按规律ss(t)运动，则物体在时刻t0的瞬时速
14、度为_例如：如果物体按规律s2t2运动，则物体在时刻t2的瞬时速度为_2汽车做匀速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为vv0，物体经过时间t所行驶的路程为_. s(t0)8sv0t例如：物体以v20 km/h的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的路程为_3当物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为vv0kt，此时在0ta时段中物体经过的路程为_例如：物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v2t，此时在0t6时段中物体经过的路程为_60 km301一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()解析：曲线v(t)t与直线t0，t1，横
15、轴围成的三角形面积S ，即为这段时间内物体所走的路程答案：B求变速运动的路程求变速运动的路程 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？解析：(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间记第i个小区间为 (i1,2，n)，其长度为t 每个时间段上行驶的路程记为Si(i1,2，n)，则显然有S .1niiS(3)求和Sn (1222n2)41niSi1niiS1求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些？答案：分割；近似代替；求和；取极限跟踪训练1求自由
16、落体的下落距离：已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间0，t内物体下落的距离解析：(1)分割将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间 (i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段t .在各小区间物体下落的距离记作Si(i1,2，n)(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在 上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)g t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体在t 内所经过的距离可近似表示为SiSi (i1,2，n)(3)求和Sn 1niiS1niiS1求解变速直线运动的路程是用“以不变代变”和逼近的思想方法，把变速直线运动的路程
17、问题化归为匀速直线运动的路程问题来求解；其步骤为：分割；近似代替；求和；取极限2求曲边梯形的面积或路程的过程中，都经过了以上四个步骤，它们都有1.51.5定积分的概念定积分的概念1 15.35.3定积分的概念定积分的概念导数及其应用一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx 小矩形面积和S=如果当如果当n时，时，S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f (x i) xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程
18、中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x
19、 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S 1连续函数f(x)在a，b上的定积分，记作_，即_例如：函数f(x)x2在0,1上的定积分，记作_，即_2函数f(x)在a，b上的定积分 f(x)dx，区间a，b叫做_，函数f(x)叫做_基础梳理baf(x)dxbabax2dx1010积分区间被积函数1定积分 f(x)dx的大小()A与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b及i的取法无关C与f(x)及i的取法有关，与区
20、间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关baA正确理解定积分的概念正确理解定积分的概念(),dt();( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t (1)定积分是一个数值 极限值 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上下限 而与积分变量用什么字母表示无关 即称为积分形式的不变性 120320a,b,.( ) ( )(1)(1)baf x d xxdxxdx (2)定积分与积分区间息息相关 不同的积分区间定积分的积分限不同 所得的值也就不同 例如与的值就不同1lim.nbianibaf xdxfnx（ ）（ ）abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf（3）规
21、定：）规定：定积分的概念的说明定积分的概念的说明badxxf）（ 说明说明1120013Sf xdxx dx曲边梯形的面积（ ）112005(2)3Sdttdt汽车行驶的路程v（t）用定义求定积分用定积分的定义计算： x2dx.10101010跟踪训练1利用定积分的定义，计算 (3x2)dx的值2121oabxysy=f(x)f(a)f(b).00面积形（图中阴影部分）的）所围成的曲边梯（曲线和），（，表示由直线）（积分，那么定）（连续且恒有）（上函数，如果在区间xfyybabxaxdxxfxfxfbaba二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。
22、 oabxyy=f(x)y=f(x)探究根据定积分的几何根据定积分的几何意义，你能用定积意义，你能用定积分表示图中阴影部分表示图中阴影部分的面积吗？分的面积吗？12( )( )bbaaSf x dxfx dx 探究探究课本课本P46 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)d
23、x。 S3定积分 f(x)dx(f(x)0)的几何意义是什么？例如： 定积分 x3dx的几何意义是_4直线x0, x，y0与曲线ysin x所围成的图形的面积用积分表示为_ba20答案：几何意义是：由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积由直线x0，x2，y0和曲线yx3所围成的曲边梯形的面积sin xdx05用定积分表示下图中阴影部分的面积S f1(x)dx f2(x)dxbaba答案：6定积分 x3dx的取值的符号为_， x3dx的取值的符号为_， x3dx的取值的符号为_100111正负0例.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上
24、连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2
25、f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1用几何意义求定积分 用定积分的意义求下列各式的值：(1) (3x1)dx；(2) dx.313232解析：(1)由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形，如图所示 (3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x
26、轴上方的面积减去在x轴下方的面积，3131323232321定积分 dx的值等于()A1B2C3D420解析：定积分 dx等于直线y 与x0，x2，y0围成的三角形的面积，S 211.答案：A2012跟踪训练2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值：(1) xdx；(2) cos xdx；(3) |x|dx.112011解析：(1)如图， xdx(A1A1)0.(2)如图， cos xdxA1A2A30.1120(3)如图，A1A2， |x|dx2A12 1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处的面积)1112例例4dxx 1021计算积分计算积分义义知知，该该积积分分值值等等于于解解：由由
27、定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxyx1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所以所以4计算 dx()A8 B16 C4 D3240解析： dx表示以原点为圆心，4为半径的 圆的面积， dx 424.答案：C40144014成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1三、定积分的性质三、定积分的性质cabcb
28、ababababababcadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxfkdxxfkdxxkf).()()()() 3 ()()()()() 2 ()()() 1 (2121其中；为常数）；（ 性质性质思考：思考：你能从定积分的几何意义解释性质（你能从定积分的几何意义解释性质（3）吗？）吗？三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)2下列等式不成立的是()A
29、. mf(x)ng(x)dxm f(x)dxn g(x)dxB. f(x)1dx f(x)dxbaC. f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dxD. sin xdx sin xdx sin xdxbababa220220bababababa解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立例如 xdx ， x2dx ， x3dx .但 x3dx xdx x2dx.答案：C101012101314101010利用性质求定积分 (1)计算 ( x3)dx的值；(2)已知f(x) 求f(x)在区间0,5上的定积分 33解析：(1)如图：3333333333(2)由定积分的几何意义得： xdxA1 22
30、2. (4x)dxA2 (12)1 ， dxA3 211. f(x)dx xdx (4x)dx dx2 1 .20325350203253解析：由定积分的性质： f(x)dx f(x)dx f(x)dx，得 f(x)dx f(x)dx f(x)dx011.答案：12202200222203. 已知f(x)是连续函数，若 f(x)dx1， f(x)dx0， 则 f(x)dx_.2002224已知 f(x)dxcos x| ，求f(x)的表达式1010解析：(cos x)sin x，f sin xc(c 为任意常数)1用定义求解定积分 f(x)dx时，其解题步骤为：分割；近似代替；求和；取极限2定积分 f(x)dx的几何意义可以是面积，可通过求面积去求定积分 f(x)dx的值bababa
