行波和驻波教材

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1、复习1：正弦信号、正弦分布和正弦波三种表达式的物理意义三种表达式的物理意义（1 1）（2 2）（3 3）)sin( tu)sin( xu)sin(xtu正弦信号)sin( tutu说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波，说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波，只是说明只是说明u u随着时间随着时间t t是按正弦变化的。是按正弦变化的。+ +- -)sin( tu- - - - -正弦分布)sin( xuxu说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波，说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波， 而是说明而是说明u u在空间位置上是正弦分布的。在空间位置上是正弦分布的。+ + + +- -+ + +正弦

2、波)sin(xtuxu说明：此表达式表示的含义才是一个正弦波。说明：此表达式表示的含义才是一个正弦波。0t1t2t3tv0t正弦信号、正弦分布和正弦波的关系y振源以平衡位置做正弦振动，该振动就是一个振源以平衡位置做正弦振动，该振动就是一个正弦信号正弦信号：tAysin该振动会激起水波，水波会向四周传播，则水波就是一个该振动会激起水波，水波会向四周传播，则水波就是一个正弦波正弦波：)sin(xtAyx如果在某个时刻如果在某个时刻t0对水波拍一张照片，则这一瞬间水波的形状就是对水波拍一张照片，则这一瞬间水波的形状就是正弦分布正弦分布：)sin(0 xtAy如果仅盯着波的某个位置（如果仅盯着波的某个

3、位置（A点）一直观察，则该点的运行形式也是正弦信号：点）一直观察，则该点的运行形式也是正弦信号：A)sin(AxtAy正弦信号、正弦分布和正弦波的关系电压源电压随时间按正弦规律变化，该电压就是一个电压源电压随时间按正弦规律变化，该电压就是一个正弦信号正弦信号：tAusin电压源激励产生的电压电压源激励产生的电压正弦波正弦波将会沿着均匀传输线向将会沿着均匀传输线向 +x 方向传播：方向传播：)sin(xtAu如果电压波是可见的，在某个时刻如果电压波是可见的，在某个时刻t0对电压波拍一张照片，则这一瞬间对电压波拍一张照片，则这一瞬间电压波的形状就是电压波的形状就是正弦分布正弦分布：)sin(0 x

4、tAu+ +- -tAusinx如果仅观察某个位置处（如果仅观察某个位置处（A点）的电压变化，则该点的电压也是一个点）的电压变化，则该点的电压也是一个正弦信号正弦信号：)sin(AxtAuAx正弦信号、正弦分布和正弦波的关系+ +- -tAusinxxu0t1t2t3tv10km500V-1000V-1000V-800V-800V-100V-100V复习2：正弦波行波和驻波正弦波运动的两种形式正弦波运动的两种形式（1 1）（2 2）)sin(xtu)cos()sin(xtu行波运动方向)sin(xtu)sin(xtu0t01tt 1tuxv0t01tt 1tuxv00说明：上述结论对于说明：上

5、述结论对于 一样适用。一样适用。)cos(xt行波运动速度和波长)sin(xtuxv0st0st10AB行波的运动速度为：行波的运动速度为：/v行波的频率为：行波的频率为：2/f行波的波长为：行波的波长为：/2/fvvT行波波峰和波节)sin(xtuuxv0CD波峰波峰波峰波峰波节波节波节波节 行波在传播的过程中，其波峰和波节的位置是不固定的，行波在传播的过程中，其波峰和波节的位置是不固定的，即行波总是要朝着一个方向推移的，这也是即行波总是要朝着一个方向推移的，这也是“行波行波”这个词的由来。这个词的由来。EF驻波)cos()sin(xtuux0t1t2t3t4t43210ttttt驻波的波峰

6、和波节的位置是固定的，即驻波没有沿驻波的波峰和波节的位置是固定的，即驻波没有沿x x方向运动，方向运动，这也是这也是“驻波驻波”这一词的由来。驻波相当于一个停滞在原地不断这一词的由来。驻波相当于一个停滞在原地不断上下振动（脉振）的正弦波，所以驻波也称上下振动（脉振）的正弦波，所以驻波也称脉振波脉振波。2f驻波的分解)cos()cos(xtu043210ttttt可见，一个驻波可以看作是由可见，一个驻波可以看作是由和驻波同频率的和驻波同频率的，幅值为驻波幅值幅值为驻波幅值的的1/21/2，运动速度相同、方向相反运动速度相同、方向相反的两个行波叠加而成的。的两个行波叠加而成的。根据积化和差的三角公

7、式，有：根据积化和差的三角公式，有：)cos(21)cos(21)cos()cos(xtxtxtuux2fvv)cos(21xt)cos(21xtu说明1)sin(xtu是行波。如果给其加上一个相位是行波。如果给其加上一个相位 ，则，则)sin(xtu依然是行波。依然是行波。xu)(sin)sin(txxtu)sin(xtu0的情况说明2)sin(xtu是一个振幅（幅值）为是一个振幅（幅值）为1 1的行波，如果乘以的行波，如果乘以一个常数，则一个常数，则xu)sin(20 xtUu仅在振幅上发生了变化。仅在振幅上发生了变化。)sin(20 xtUu)sin(xtu102U复习3 衰减的行波的表

8、达式 如果向池塘的正中央扔一块石头，则会激起一个如果向池塘的正中央扔一块石头，则会激起一个行波，这个行波会从激励点（石头入水的那个点）行波，这个行波会从激励点（石头入水的那个点）向四周传播。在传播的过程中，水波的能量会逐向四周传播。在传播的过程中，水波的能量会逐渐损耗，所以越是远离激励点，行波的振幅越小。渐损耗，所以越是远离激励点，行波的振幅越小。 当传输线中当传输线中电流较大电流较大时，传输线的电阻会消耗电时，传输线的电阻会消耗电磁波的能量，所以电磁波在传递的过程中，其振磁波的能量，所以电磁波在传递的过程中，其振幅幅可能可能随着传输距离的增大而衰减。随着传输距离的增大而衰减。振幅随距离增大而

9、衰减的行波的表达式)cos(20 xteUuxxu0 xeU02xeU02)cos(20 xtUu紫色的虚线称为包络线，指各个波峰或波谷的值一定在这条虚线上。衰减因子无衰减正弦波衰减行波在不同时刻的波形图xxeU02xeU02)cos(20 xteUux0t1t2t012tttvu预习1 行波的相量表示法)cos(2),(0 xteUtxux)cos(20tUu0UU）xeUxUx()(0)cos(2cos)(2)sin)(cos(2Re)(2Re),(0 xteUtxUtjtxUexUtxuxtj复习1 微分方程的正弦稳态形式n时域形式 当电压电流都是正弦量且只求稳态解时，可将上当电压电流都

10、是正弦量且只求稳态解时，可将上述方程转换为相量方程求解：述方程转换为相量方程求解：dttdiLtuLL)()(LLLILjIjLU)(时域内时间函数求导时域内时间函数求导对应频域内用相量乘对应频域内用相量乘以以 。j预习2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法tuCuGxitiLiRxu0000u、i为正弦波为正弦波且只求稳态解且只求稳态解)()(0000UjCUGxIIjLIRxUUYUCjGUCjUGdxIdIZILjRILjIRdxUd0000000000)()(预习2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法UYdxIdIZdxUd00此微分方程的每个方程此微分方程的每个方程都含有两个未知量，要都

11、含有两个未知量，要通过换元的方法变成两通过换元的方法变成两个一元微分方程求解。个一元微分方程求解。dxUdYdxIddxIdZdxUd022022两边同时两边同时对对 x 求导求导换元换元)()(00220022IZYdxIdUYZdxUd整理整理0000220022IZYdxIdUYZdxUd这是两个独立的这是两个独立的一元二阶微分方程。一元二阶微分方程。其解法和动态电路其解法和动态电路相同，只是自变量相同，只是自变量变成了变成了x 而已。而已。复习2 微分方程的解法02122yadxdyadxyd（1 1）求方程的特征根，令）求方程的特征根，令 ，则微分方程的特征多项式为：，则微分方程的特征多项式为：pdxd0212apap解出解出 。21, pp（2 2）方程的通解为：）方程的通解为：xpxpeAeAy2121（3 3）根据）根据边界条件边界条件待定待定A1和和A2。预习2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法0000220022IZYdxIdUYZdxUd0002YZp特征根：特征根：002001YZpYZp，通解：通解：xpxpeAeAU2121特征根：特征根：002001YZpYZp，通解：通解：xpxpeBeBI21210002YZp边界条件不同，待定出的系数就不同。边界条件不同，待定出的系数就不同。