函数与映射概念的理解

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1、玩转函数第一招 第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】映射.映射: AB的概念。对于两个集合A，B如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B及f）叫做从集合A到集合B的映射.记作：f：AB.1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f f f (1) (2) (3) (4)在以上的四种对应关系中，（1）（3）不是映射，（2）（4）是映射.对于映射这个概念，应明确以下几点：映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.映射是有方向的，A到B的映

2、射与B到A的映射往往是不相同的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合CB. 映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一 一映射：设A，B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射.在理解映射概

3、念时要注意：A中元素必须都有象且唯一；B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。【精准训练】（1）设是集合到的映射，下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是： A、5 B、6 C、8 D、9（答：B）（3）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_（答：（2，1）；（4）a

4、、b为实数，集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则= A、1 B、0 C、1 D、±1（5）若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）；（6）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个（答：12）；（7）设是集合A到集合B的映射，若B=1,2，则一定是_（答：或1）.（8）、已知集合，则满足条件的映射的个数是( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7（9）、从集合到的映射中满足条件个数是( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）6（10）、已知集合，在 的映射中满足条件，个数是( )（11）、A=1，2，3，4，5，B=

5、6，7，8，从集合A到B的映射中满足f（1）f（2）f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A、27 B、9 C、21 D、12解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个（2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C·C=12个（3）有二个不等号的映射，f有C·C=6个。所以共有3+12+6=21个，答案选C。（12）、已知映射，其中集合，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素为，则集合B的真子集个数是。（13）、设集合， 是映射，且满足条件，这样的从自身的映射个数是（A）1 （B）2 （C）3 （

6、D）4（14）、已知集合，则满足条件的映射的个数是（A）1 （B）5 （C）7 （D）10（15）、从任何一个正整数n出发，若n是偶数就除以2，若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去,现在你从正整数3出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 A，10 B，4 C，2 D，1（16）、已知集合，则满足条件：对每一个是偶数的映射的个数是（A）4 （B）7 （C）12 （D）非上述结果（17）、 由定义映射：，则的象是（ ）A 、 B、 C 、 D 、 （18）、定义运算，则，按照，称点（x,y）映到点（x,y）的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这点本身，而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点

7、的对称点。这时，k= m= p= q= 24，1，3，3，-2（19）设M平面内的点(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2x+bsin2x，给出M到N的映射f：(a，b)f(x)acos2xbsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为A B2 C D 函数：1函数定义a:传统（古典）定义：如果在某变化过程中，有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数.x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. b: 近代（映射）定义：设A，B都是解空的数的集

8、合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f：AB叫做A到B的函数.记作y=f(x)，其中xA，yB. 原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。 注：（1）两种定义的比较： 相同点：1°实质一致 2°定义域，值域意义一致 3°对应法则一致不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动. 2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性. （2）对函数定义的更深层次的思考： 映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：AB，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非

9、空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。函数三要素1°核心 对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.2°定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函