机械振动第1章习题

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1、第一章习题第一章习题P57.1-1: , 0.05m, 0.1m0.2m/s0.08m/s一物体作简谐振动 当它通过距平衡位置为处时的速度分别为和。 求其振动周期、振幅和最大速度。( )sin()u tat( )cos()u tat两边平方，相加2222( )( )au tu t 代入已知条件222222220.05 0.20.1 0.08aa解出0.1069, =2.1167a 2 /2 /2.11672.9684T 振动周期： 0.1069a 振幅：0.1069 2.11670.2263a最大速度=P57.1-2: Hz 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5的简谐振动时， 要

2、使物体不跳离平台，对台面的振幅有何限制？mummgN2( )( )u tu t ( )mNmgmu t质量 运动方程： ( )Nmu tmg : 0N 不跳离条件( )0mu tmg2( )gu t2sin()gat( ) sin()0, t如果则上式恒成立2229.8( ) sin()0, 9.9mmsin()(25)ggtat 如果则上式变为00(30 )(90 )121P57.1-3: ( )5( )7( ), ( )( )jtjtu teu teu tu tu t求简谐位移与的合成运动并求与的相位差。00000(30 )(90 )30901200(65.5 )( )( )( )57(5

3、7) (5cos30(5sin307)10.44jtjtjjj tj tjtu tu tu teeeeejee0001( )( ) 65.53035.5u tu t与的相位差：12P57.1-4: ( )5cos40 , ( )3cos39 u tt u tt求两简谐运动的合成运动的最大振幅和最小振幅，并求其拍频和周期。4039123939( )39( )( )( )Re53 Re(53) Re(5cos3)5sin ) Re ( ) ( )cos(39( )jtjtjtjtjtjtjtu tu tu teeeetjt eu t eeu ttt22( )(5cos3)(5sin )3430co

4、su tttt5sin( )arctan()5cos3ttt21| | 4039| 1 rad/s拍频21222 (s)| 4039|拍周期max34308umin34302u55123P57.1-5: 2.5kg, 2 10 N/m, 3 10 N/m mkkk写出图示系统的等效刚度的表达式。 当时，求系统的固有频率。123 kkk分析表明： 和并联， 之后与 串联1212eqkkkkk和并联后的等效刚度：261.86 rad/seqnkm系统的固有频率：31233123()eqeqeqk kkkkkkkkkk整个系统的等效刚度：P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。11kx22

5、kxfab1x2x12b xa xab o1122 fkxkx垂直方向力平衡：1122o kx akx b对 力矩平衡：12 eqeqb xa xkfkab 设等效刚度系数为， 则：22221 () eqabkabkk由以上各式得到：625P57.1-7: 4m,1.96 10 Nm4.9 10 N/m, 400kg lEIkm图中简支梁长 抗弯刚度, 且。分别求图示两种系统的固有频率。任意截面处的弯矩：FF 2F 2xw( )22FlM xxFx挠曲线微分方程：22( )22FlxFxd wM xdxEIEI积分：331( )1262Fxlw xxCxDEI边界条件：( )( )0w 0w

6、l2222llx xlxl0 x当当32313( )126248Fxllw xxxEI FF 2F 2xw3348( /2)48beamFFEIkl Fw llEI656334848 1.96 104.9 101.96 10 (/)4eqbeamEIkkkkN ml53.675 10beameqbeamk kkkk61.96 1070(/ )400eqnkrad sm30.3(/ )eqnkrad sm( )a( )b32313( )126248Fxllw xxxEI 5P58.1-8: 4 10 N/m, 100kg0.5m/s 钢索的刚度为绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降，若钢索突然卡

7、住， 求钢索内的最大张力。 nkm系统固有频率：0 (0)0, (0)uuv初始条件：220000 ()nnuvmauvk振幅：054 1000 9.80.5 1000 4 10 1.98 10 (N)Tmgkamgvmk 最大张力：P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。P58.1-12: l图示摆， 其转轴与铅垂方向成 角， 摆长 ， 质量不计。 求摆动固有频率。412nklmgml2sin( ) sinmlmgl 2sin( ) sin0mlmgl sin很小，2sin( )0mlmgl 2sin( )sin( )nmglgmll222(2)4lml

8、mlkmgl sinmgP58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。(1) 对临界阻尼情形000( )() ntnu tuuu t e000( )() ntnnu tuuu t e11( )0, ( )0u tu t越过平衡位置的条件：000,0 uu 如果， 系统静止在平衡位置上。#000,0uu 如果#( )0u t 10t 10( )0u tu经过平衡位置一次000,0uu 如果#( )0u t 1 t 为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置000,0uu 如果#( )0u t 0100nutuu 000100( )0nnuu

9、unu tuu e经过平衡位置一次33P58.1-14: 10kg =0.01m20 6.4 10 m .6 10 m 20mcs一单自由度阻尼系统，时， 弹簧静伸长。自由振动个循环后， 振幅从降至1。 求阻尼系数 及个循环内阻尼力所消耗的能量。01112ln, ln, , lnnnAAAAAA010112ln()lnnnnAAAAnA AAA01ln2nAnA01ln2nAnA033222ln()106.4 109.8 ln()6.91(Ns/m)201.6 100.01ssnsAmggmgcmkmmnA2222003 23 21120()()2210 9.8 (6.4 10 )(1.6 1

10、0 ) )0.19(NM)2 0.01nnsmgk AAAA周阻尼器消耗的能量123P58.1-15: 1kg224N/m, 48Ns/m, 0.49m,/2, /4 mkcllllll图示系统的刚杆质量不计，。 求系统固有频率及阻尼比。222()01644llmglmlck224 0.49 1 9.87.14(rad/s)44 1 0.49nklmgml 22248160.211 9.816()16 1 (224)2()0.4944clcmgklmglm kmll12222112P59.1-16: , , , 2, 2 2 dmTTfA uAumTTATT 图示系统的薄板质量为系统在空气中(

11、认为无阻尼)振动周期为在粘性液体中振动周期为液体阻尼力可表示为其中为板的面积， 为粘性系数，为板 运动的速度。求证：12nT22221dnT 2121TT21221TT1122222nA TcAmmmT2221122 mTTATT0P59.1-17: 17.5kg, 7000N/m, ( )52.5sin(1030 )Nmkf tt已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为求该系统在零初始条件下被简谐力激发的响应。系统的运动方程：0( )( )sin()mu tku tft特解为：( )sin()dutBt20/()0.01dBfkm响应：43P59.1-18: 100kg9 10 N/m2.4