线性代数第一章行列式第六节行列式按行列展开

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1、决这个问题决这个问题, ,先学习余子式和代数余子式的概念先学习余子式和代数余子式的概念. .一般来说一般来说, ,低阶行列式的计算比高阶行列式低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便的计算要简便, ,于是于是, ,自然地考虑用低阶行列式来自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题表示高阶行列式的问题. . 本节我们要解决的问题本节我们要解决的问题是是, ,如何把高阶行列式降为低阶行列式如何把高阶行列式降为低阶行列式, ,从而把高从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算. .为了解为了解 求余子式求余子式求余子式求余子式模型模型模型模型A = D D =

2、 = a aij ijA Aij ij. .先证先证 aij 位于第位于第 1 行第行第 1 列的情形列的情形, ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理二、引理二、引理一个一个一个一个 n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式, , , ,如果其中第如果其中第如果其中第如果其中第i i 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除a aij ij 外都为零外都为零外都为零外都为零, , , ,那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于 a aij ij与它的代数余与它的代数余与它的代数余与它的代数余子式的乘积子式的乘积子式的乘积子式的乘积,

3、 , , ,即即即即此时此时证明证明证明证明D D = = a aij ijA Aij ij. .先证先证 aij 位于第位于第 1 行第行第 1 列的情形列的情形, ,00212222111nnnnnaaaaaaaD二、引理二、引理二、引理二、引理一个一个一个一个 n n 阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式, , , ,如果其中第如果其中第如果其中第如果其中第i i 行所有元素除行所有元素除行所有元素除行所有元素除a aij ij 外都为零外都为零外都为零外都为零, , , ,那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于那么这行列式等于 a aij ij与它的代数余与它的代数余与它的代数余

4、与它的代数余子式的乘积子式的乘积子式的乘积子式的乘积, , , ,即即即即此时此时证明证明证明证明 这个定理叫做这个定理叫做.任意输入一个三阶或四阶行列式，利用任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算行列式按行（列）展开法则计算. 行列式行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad称为称为 n 阶阶 (Vandermonde) 行列式行列式.证明证明. )(1nijjiaad证明证明证明证明对对 n 作归纳法作归纳法.当当 n = 2 时，时，,111221aaaa结论成立结论成立.设对于设对于 n 1 阶范德蒙德行列式结论阶范

5、德蒙德行列式结论成立，现在来看成立，现在来看 n 阶的情形阶的情形.在在 n 阶范德蒙德行阶范德蒙德行列式中，第列式中，第 n 行减去第行减去第 n 1 行的行的 a1倍，第倍，第 n 1 行行减去第减去第 n 2 行的行的 a1倍倍. 也就是由下而上依次地从也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的每一行减去它上一行的 a1倍，有倍，有由由或或或或D D= =a a1 1j jA A1 1j j+ +a a2 2j jA A2 2j j+ + +a anjnjA Anjnj( (j j=1,2,=1,2, ,n n). ).定理定理定理定理 3 3行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行行列

6、式等于它的任一行行列式等于它的任一行( ( ( (列列列列) ) ) )的各元的各元的各元的各元素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和素与其对应的代数余子式乘积之和, , , ,D D= =a ai i1 1A Ai i1 1+ +a ai i2 2A Ai i2 2+ + +a aininA Ainin( (i i=1,2,=1,2, ,n n), ),还可得下述重要推论还可得下述重要推论.证明证明证明证明把把行列式行列式 D = det( aij) 按第按第 j 行展开，行展开，有有,1111112211nnnjnjininjnjnjjj