第四章4.2常系数线性微分方程的解法

《第四章4.2常系数线性微分方程的解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章4.2常系数线性微分方程的解法（43页珍藏版）》请在文档大全上搜索。

1、4.2 4.2 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程的解法一一 复值函数与复值解复值函数与复值解 二二 常系数齐次方程与欧拉方程常系数齐次方程与欧拉方程 三三 非齐线性方程与比较系数法非齐线性方程与比较系数法 四四 质点振动（质点振动（了解了解）一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数、复值函数.)()()(,)()(上的复值函数为区间我们称上定义的实函数是区间与如果btatittzbtatt.)(,)()(上连续在则称上连续在区间与若btatzbtatt的导数为且上可微在则称上可微在与若)(,)(,)()(tzbtatzbtatt)()()(tittz复值函数的求导法则与实

2、函数求导法则相同复值函数的求导法则与实函数求导法则相同一、复值函数与复值解一、复值函数与复值解1、复值函数及其性质、复值函数及其性质( )( )( ), ( )( ).z tu tiv tu tv t复值1) : 、为数实函数函3）复值函数的）复值函数的求和、数乘、求导法则与求和、数乘、求导法则与实函数实函数相同相同极限、连续点、2) 复值函数（）、区间的可导: ( )( )( ), ( )( )z tu tiv tu tv t如果 、为实函数，则00000lim ( )lim ( )lim ( )( )( );ttttttz tu tiv tu tiv t极限：0000lim ( )( )(

3、 )( );ttz tz tu tiv t连续：( )( )( ).z tu tiv t导数：2 、复指数函数、复指数函数)sin(cos)()(titeeetzttikt欧拉公式欧拉公式:)(21costitieet)(21sintitieeit性质性质:定义：定义：,) 1 (ktktee,)2(2121)(tktktkkeee,)3(ktktkeedtd,)4(ktnktnnekedtd. ik=其中，3、复值解、复值解) 1 . 4()()()(111tfxtadtxdtadtxdnnnnn1) 定义：定义： ( ),(4.1),atbz t 定义于区间上的实变量复值函数称为方程的复值

4、解 如果)()()()()()(111tftztadttzdtadttzdnnnnnatb 对于恒成立.111( )( )0 (4.2)nnnnnd xdxa ta t xdtdt2) 定理定理8(4.2)( )(1,2, ),( )( )( ),( )( )( )( )( )(4.2).ia t inxz tu tiv tz tu tv tz tz t如果方程的所有系数都是实值函数 而是方程的复值解 则的实部和虑部及的共轭复数也都是方程的解)()()(111tuxtadtxdtadtxdnnnnn和)()()(111tvxtadtxdtadtxdnnnnn的解.3) 定理定理9： 若方程11

5、1 ( )( )( )( )nnnnnd xdxL xa ta t xu tiv tdtdt( )( ),( )(1,2, )( ),( ),( )( )ixtita t inu tv ttt有复值解这里及都是实值函数 则这个解的实部和虚部分别是方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程二、常系数齐线性方程和欧拉方程1、常系数齐线性方程的求解方法、常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法待定系数法)考虑方程111 0 (4.19)nnnnnd xdxL xaa xdtdt,21为常数其中naaa称(4.19)为n阶常系数齐线性方程. 要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍求基本解组的Eu

6、ler待定指数函数法（特征根法）.0 xax有通解;atxce说明： 一阶常系数齐线性方程0 xx有通解.txce受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：, (4.20)txe,其中， 是待定常数 可实也可复.把它代入方程(4.19)得0)(111tnnnnteaaaeL,(4.19):te因此为的解充要条件的是是代数方程)21. 4(, 0)(111nnnnaaaF 的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.1) 特征根是单根的情形12,(4.21),(4.19)nnn 设是特征方程的 个彼此不相等的特征根 则相应方程有如下 个解12,

7、(4.22)nttteee易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：,21tttneeeWtnntntntntttttnnneeeeeeeee1121121212121下面分开讨论特征根的不同情况：下面分开讨论特征根的不同情况：tne)(211121121111nnnnntne)(21nijji1)(0故解组(4.22)线性无关.(1,2, ),iain( ) 若均为实数tnttnececectx2121)(.,21是任常数其中nccc的通解为从而的基本解组是方程则)19. 4(,)19. 4()22. 4(1,2, ),iin(b) 若中有复数（则因方程的系数是实常数,所以复根将成对共

8、轭出现）12,mmii设是特征根 则也是特征根则相应方程(4.19)有两个复值解：),sin(cos)(titeetti);sin(cos)(titeetti 由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解. 因此,对方程的一对共轭复根:,mi 可求得(4.19)的两个实值解为：,cos tet;sin tet例1：280.xxx求方程的通解解： 特征方程为228(4)(2)0特征根为14,22, 基本解组为4,te2,te故原方程的通解为：4212.ttxc ec e例2：0.xx求方程的通解解： 特征方程为310 特征根为11, 2,313,22i基本解组为112233,cos,sin22ttte

9、et et故原方程的通解为：112212333cossin.22tttxc ec etc et2) 特征根是重根的情形特征根是重根的情形则有重根有设特征方程,)21. 4(1k(1)111 ()()()0,kFFF且; 0)(1)(kF1100下面分和两种情形加以讨论:1( )0a设，11 0,nnn kaaa 从而; 0kna故特征方程为：, 011kknnnaa.k即特征方程有因子1( )( )kFg（）( )( )kFg则，111( )0,(4.21)nnnnFaaa从而，对应方程(4.19)变化为：0111kkknnnnndtxdadtxdadtxd211, , kkt tt显然，它有

10、 个解： （线性无关）.21:(4.21)(4.19)1, ,.kkkt tt从而可得 特征方程的 重零根对应着方程的 个线性无关的解:1( )0,b设1(4.19),txye 作变换并把它代入方程经整理得:ttnnnnnteyLeybdtydbdtydyeL111)(1111于是，方程(4.19)化为1111 0, (4.23)nnnnnd ydyL ybb ydtdt,21仍为常数其中nbbb其中，方程(4.23)相应特征方程为)24. 4(, 0)(111nnnnbbbG1111111() nntttnnnd ydyL yebb y eL y edtdt1, 0tyeL y令代入得：11

11、 ( )0ttL yL eGe ,直接计算易得:teF)(11)()(1teLtteeL11,)()(1teG因此,)(1F),(G11,(4.21)(4.24)0,kk 可见的 重根 = 对应着的 重零根 =即就把问题转化为前面讨论过的情形(a).11121:(4.24)(4.23): 1, ,;kkkt tt从前面的讨论得 方程的 重零根对应着方程的 个线性无关的解1(4.19)k因而,对应着方程的 个解1111112,; (4.25)tttktetet ete1txye的相应解为则方程而且依次为的重数的其它根假设方程类似地)19. 4(),(,)21. 4(,2122jinkkkkkji