第6章最优证券投资组合(现代金融经济学-陆家骝)

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1、第第6 6章章 最优证券投资组合最优证券投资组合本章制作：孔小伟本章制作：孔小伟两证券模型的最优证券组合两证券模型的最优证券组合最优证券投资组合的比较静态最优证券投资组合的比较静态多证券模型的最优证券组合多证券模型的最优证券组合模型假定模型假定只包含一支风险证券和一支无风险证券只包含一支风险证券和一支无风险证券经济主体的效用函数具有单调递增和二阶可导的经济主体的效用函数具有单调递增和二阶可导的VNM效用函数的形式效用函数的形式假设经济主体在时期假设经济主体在时期1的收入都在证券组合收益空的收入都在证券组合收益空间中（即假设的经济是一个证券市场经济）间中（即假设的经济是一个证券市场经济） 证券组

2、合选择问题同决策主体的财富或收入的关系证券组合选择问题同决策主体的财富或收入的关系一个具有严格递增预期效用函数的经济行为主体，其预期一个具有严格递增预期效用函数的经济行为主体，其预期效用取决于时期效用取决于时期1消费，最优化证券组合选择问题可以写消费，最优化证券组合选择问题可以写成成 约束条件为约束条件为 1,1maxcuEhcjJjjhxwcwph1110和由于假设的经济是一个证券市场经济，这样，最优由于假设的经济是一个证券市场经济，这样，最优化证券组合选择问题可以重写为化证券组合选择问题可以重写为 约束条件为约束条件为Jjjjhxchpwhp110和 1,1maxcuEhc经济行为主体的财

3、富的定义是其在时期经济行为主体的财富的定义是其在时期0的所得收的所得收入加上其所持有的证券组合的价格，这支证券组合入加上其所持有的证券组合的价格，这支证券组合为他产生时期为他产生时期1的所得收入，即的所得收入，即 ，使用财，使用财富富w并在预期效用函数中代入并在预期效用函数中代入 ，可以得，可以得到最优证券组合选择问题的另一种表达：到最优证券组合选择问题的另一种表达： 约束条件为约束条件为hpww0jjjhxc1whpjjjhhxuE)(max如果经济行为主体是严格风险厌恶的，那么最优消费如果经济行为主体是严格风险厌恶的，那么最优消费计划计划 就是唯一的，更进一步，如果证券就是唯一的，更进一步

4、，如果证券市场中不存在多余的证券，那么经济行为主体的最优市场中不存在多余的证券，那么经济行为主体的最优证券组合仍然是唯一的证券组合仍然是唯一的。两证券两证券模型的最优证券组合分析模型的最优证券组合分析设风险证券收益率为设风险证券收益率为r，无风险证券收益率为，无风险证券收益率为rf ，其差，其差r- rf为非零，是风险证券的超额收益率，也即风险贴水。为非零，是风险证券的超额收益率，也即风险贴水。jjjhxc1在两证券模型分析中，用投资于各支证券的财富量在两证券模型分析中，用投资于各支证券的财富量来描述一个预算上可行的来描述一个预算上可行的证券组合。令证券组合。令a代表经济代表经济行为主体投资于

5、风险证券上的财富价值，则代表无行为主体投资于风险证券上的财富价值，则代表无风险证券上所投资的财富数量为风险证券上所投资的财富数量为w-a，那么投资组，那么投资组合合(w-a, a)的未来收益为的未来收益为wrf+(r-rf)a假设经济行为主体财富假设经济行为主体财富w是严格正值的，可以用是严格正值的，可以用a*表示经济行为主体的最优投资组合，它是以下规划表示经济行为主体的最优投资组合，它是以下规划问题的解问题的解 约束条件为约束条件为arrwruEffamax0arrwrff如果证券市场上的证券价格是排除套利的，并且如果证券市场上的证券价格是排除套利的，并且假设经济行为主体的消费是严格正值的，

6、那么上假设经济行为主体的消费是严格正值的，那么上述最优化问题存在解。述最优化问题存在解。如果经济行为主体是严格风险厌恶的，则在上述如果经济行为主体是严格风险厌恶的，则在上述最优化问题中的最优投资组合就是唯一的。最优化问题中的最优投资组合就是唯一的。作为内部解的经济行为主体最优投资组合作为内部解的经济行为主体最优投资组合a*满足满足一阶条件一阶条件0fffrrrrawruE运用模型分析风险证券的最优投资数量与风险贴水运用模型分析风险证券的最优投资数量与风险贴水的关系的关系定理一定理一：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的，那么，他投资于风险证券的最优数量是

7、严格正值的、那么，他投资于风险证券的最优数量是严格正值的、是零、或者是严格负值的充分必要条件是：这支风是零、或者是严格负值的充分必要条件是：这支风险证券的风险贴水是严格正值的，是零，或者是严险证券的风险贴水是严格正值的，是零，或者是严格负值的。格负值的。定理二定理二：如果风险贴水：如果风险贴水 很小，那么一个严格很小，那么一个严格风险厌恶、在时期风险厌恶、在时期1的收入为的收入为0的经济行为主体在风的经济行为主体在风险证券上的最优投资为险证券上的最优投资为 frrE fAfwrRrrEa2主要内容：讨论在经济行为主体的财富状况、经济中主要内容：讨论在经济行为主体的财富状况、经济中的无风险收益率

8、、风险证券的预期收益率和风险程度的无风险收益率、风险证券的预期收益率和风险程度发生变化的情况下，最优证券投资组合的决定。发生变化的情况下，最优证券投资组合的决定。模型：分析仍仅限定于两证券模型，即一支无风险证模型：分析仍仅限定于两证券模型，即一支无风险证券与一支风险证券。券与一支风险证券。假定：经济行为主体的财富只由时期假定：经济行为主体的财富只由时期0的收入构成，其的收入构成，其时期时期1的收入假设为的收入假设为0。方法：借鉴消费者理论中的比较静态分析方法。方法：借鉴消费者理论中的比较静态分析方法。首先讨论财富变动对最优证券投资组合的影响首先讨论财富变动对最优证券投资组合的影响定理：如果经济

9、行为主体是严格风险厌恶的，并且定理：如果经济行为主体是严格风险厌恶的，并且如果他的绝对风险厌恶系数是递减的，同时如果风如果他的绝对风险厌恶系数是递减的，同时如果风险证券的风险贴水是正值的，那么，当经济行为主险证券的风险贴水是正值的，那么，当经济行为主体的财富增加时，他的最优投资组合中的对风险证体的财富增加时，他的最优投资组合中的对风险证券的投资券的投资a*是增加的。是增加的。证明：此定理的证明从最优化投资的一阶条件开始。证明：此定理的证明从最优化投资的一阶条件开始。最优化投资的一阶条件为：最优化投资的一阶条件为：0fffrrarrwruE对此式中的变量对此式中的变量w求偏导数得到：求偏导数得到

10、：或者或者可证明可证明 因此在设定的条件下，随着财富的增加，经济行为主因此在设定的条件下，随着财富的增加，经济行为主体投资于风险证券的价值将增加，风险证券是一种正体投资于风险证券的价值将增加，风险证券是一种正常商品。常商品。0 arrrrrrrawruEwfffff2fffffffwrrrrawruErrrrawruEra 0aw当绝对风险厌恶系数递增或者为常数时财富当绝对风险厌恶系数递增或者为常数时财富变动对最优证券投资组合变动的影响变动对最优证券投资组合变动的影响按照以上定理的证明过程，遵循类似的步骤可以按照以上定理的证明过程，遵循类似的步骤可以得出：如果一个经济行为主体是严格风险厌恶的得