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1、景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系kjirzyx（2-1）其值为222zyxr位矢的方向余弦由下式确定coscoscosrrrzryxr景德镇高专物理系景德镇高专物理系kjirr)()()()(tztytxt景德镇高专物理系景德镇高专物理系ABrrrjirrr)()(ABABAByyxx景德镇高专物理系景德镇高专物理系jirrr)()(ABABAByyxx（2-3b） 景德镇
2、高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系)(1trttB)(2ttr12rrrttvttrrrv12jijirvyxvvtytxt其中 yxvv 和是平均速度v在Ox轴和Oy轴上的分量。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系ttddlim0rtrv（2-4a）或jijitvyxttvvtyx00limlim（2-4b）景德镇高专物理系景德镇高专物理系或jijitvyxttvvtyx00limlim（2-4b）其中tyvtxvyxdd,dd景德镇高专物理系景德镇高专物理系是速度在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。显然，如以分别表示速度上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有
3、上式亦可以写成(2-4c)速度的方向与时的极限方向一致。当景德镇高专物理系景德镇高专物理系yxvv 和是速度v在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。显然，如以yxvv和分别表示速度v在Ox轴和Oy上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有景德镇高专物理系景德镇高专物理系是速度tyvtxvyxdd,ddyxvv和v在Ox轴和Oy轴上的分量 又称为速度分量。 显然，如以 yxvv和分别表示速度 vOx轴 在 Oy上的分速度 和 (注意:它们是分矢 量!)， 那么有 jivyxvv上式亦可以写成yxvvv(2-4c) 景德镇高专物理系景德镇高专物理系速度 v的方向与 0t在r时的极限方 向一致。
4、当 0t时， r趋于和轨道相切， 即与点A曲线的切线方向。所以当质点作曲线运 的切线重合。动时，质点在某一点 的速度方向就是沿该点 如图-所示。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢 r和速度 v是描述质点运动状态的两个物理量。这两 个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运 动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。 因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由 已知运动方程求解运动状态；另一是由已知 运动状态求解运动方程 。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系例 设质点的运动方程为jir)()()(tytxt其中 m2)sm1 ()(1tt
5、xm2)sm41()(22tty(1)求s3t时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。景德镇高专物理系景德镇高专物理系解解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为ttyvtxvyx)sm21(dd, sm1dd21故 s3t时的速度分量为 11sm5 . 1sm1yxvv和景德镇高专物理系景德镇高专物理系于是 时，质点的速度为 s3tjiv)sm5 . 1 ()sm1 (11速度的值为 1sm8 . 1v速度 v与 x之间的夹角为o3 .5615 . 1arctg景德镇高专物理系景德镇高专物理系(2)由已知运动方程2m)sm41()
6、( ,m2)sm1 ()(22-1ttyttx消去 t可得轨迹方程m 3)m41(21 -xxy并可作如图-所示的质点运动轨 迹图。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系3.加速度 acceleration上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表 示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们 将从曲线运动出发引出加速度的概念。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系（1）平均加速度 average acceleration如图-所示，设在时刻 t，质点位于点 A，其速度为 1v，在时刻 tt，质点位于点B其速度为 2v则在时间间隔
7、速度增量为 12vvvt内，质点的速 度增量为 它在单 位时间内的速度增量 即平均加速度为 tva景德镇高专物理系景德镇高专物理系（）瞬时加速度 Instantaneous acceleation 当 0t时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有tttddlim0vva的方向是 a0t时 v的极限方向，而 的数值是 a/tv的极限值。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系a应当注意，加速度 既反映了速度方向的 变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作 曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不 与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的 切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向 曲线的凹侧。
8、 景德镇高专物理系景德镇高专物理系式(-5)可以写成)(ddjvivayxt即 yxyxaaaajia其中 tvatvayyxxdd ,dd景德镇高专物理系景德镇高专物理系例 有一个球体在某液体中垂直下落， 球体的初速度为 jv)sm10(10，它在液体中的加速度为 jav )s0 . 1(1。问: (1)任一时刻t的球体的速度。 (2)时刻 球体经历的路程有多长？ t景德镇高专物理系景德镇高专物理系解解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度 a的方向与球体的速度 v的方向相反，由加速 度的定义，有 vtva)s0 . 1(dd1得 vvttvv010d )s0 . 1(d有 tevv)s0
9、. 1(01景德镇高专物理系景德镇高专物理系上式表明，球体的速率 v随时间 t的增长而减小。 又由速度的定义，有 tevtyv)s0 . 1(01dd得 ytttevy00)s0 .1(0dd1m1 10m)1(0 . 1110)s0 . 1()s0 . 1(11tteey景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.1.3 几几种种常用的坐标常用的坐标 several useful Coordinate 直角坐标 Right angle Coordinate 二维直角坐标的正交归一基矢是 (i,j),(i,j) 分别是沿直角坐标轴x、y方向的单位矢量 。在直角坐标下 , jiryx jivvvyxdt
10、dydtdxji2222dtyddtxdyxaaa景德镇高专物理系景德镇高专物理系例一质点具有恒定加速度 jia)sm4()sm6(22在 0t时，其速度为零，位置矢量 ir)m10(0。求： （1）在任意时刻的速度和位置矢量； (2）质点在平面上的轨迹方程，Oxy并画出轨迹的示意图。景德镇高专物理系景德镇高专物理系解：解：由加速度定义式，根据初始条件 t0 = 0 时v0 = 0，积分可得 ttttvd )sm4(sm6(dd02200ji )avjivtt)sm4()sm6(22又由 t ddrv 及初始条件 t = 0时， r0 = (10 m)i 景德镇高专物理系景德镇高专物理系积分可
11、得 ttttttrd )sm4()sm6(dd02200jivrjir)sm2()sm3(m102222tt由上述结果可得质点运动方程的分量式，即 22sm3m10tx22sm2ty景德镇高专物理系景德镇高专物理系消去参数t，可得运动的轨迹方程 m2023 xy这是一个直线方程，直线斜率 32antddxyk1433景德镇高专物理系景德镇高专物理系2平面极坐标 Level Radial coordinates 设有一质点在如图2-8所示Oxy平面内运动，某时刻它 平面内运动，OA位于点。到点的有向线段 A由坐标原点r称为径矢， rOx与 轴之间的夹角为。于是，质点在点 A的位置可由( , r)
12、来确定。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系这种以( , r)为坐标的参考系称为平面极坐标系。 而在平面直角坐标系内，点 A的坐标则为( yx,)。 这两个坐标系的坐标之间的变换关系为: sincosryrx和称为角坐标，它是时间 t 的函数，即 （t） d/dt 称为角速度，在圆周运动下， V = r. 景德镇高专物理系景德镇高专物理系3自然坐标 Natural coordinate （）自然坐标一般来说，质点平面运动需用两个独立的变量（是标量）描述，如在平面直角坐标系中就是用x、y来描述，但质点又有其运动轨迹 y=y(x)，则x、y间只有一个是独立的。这就是说， 在已知质点轨迹的前提下，质点
13、的平面运动仅需一个标量函数就能确切描述质点的运动状况， 这里， 我 景德镇高专物理系景德镇高专物理系们既不选择x,也不选择y充当这一描述运动的标量函数，而是选用另一种所谓“自然坐标”。在已知运动轨迹上任选一点0为原点，沿质点的轨迹为 “坐标轴”（当然是弯曲的）， 原点至质点位置的弧 长s作 为 质点的位置坐标，弧长s称为 平面自然坐标， 它确定质点 景德镇高专物理系景德镇高专物理系的位置，并在质点所在处取一单位矢量沿 曲线切线且指向自然坐标增加方向的矢量 te，称为 切向单位矢量，另取一单位矢量，沿曲线的法向且指向曲线的凹侧的矢量 te，称为法向单位矢量。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系下面
14、以圆周运动为例（2）. 切向速度如图2-9所示，质点在圆周上点 A的速度为 v， 于是点 A的速度 可以写成 tevv （2-7） 式中 v为速度 v的值， te则代表速度 v的方向。 （）切向加速度和法向加速度在圆周上任意点的加速度为tdvtvtdddddtteeva（2-8） 式(2-8)中第一项 tddetv， ， 是由于速度大小的变化而引起的，其方向为 te的方向，即 与速度 v的方向相同。因此，此项加速度分矢量称为切向加速度，用 ta表示， 另外，可得 景德镇高专物理系景德镇高专物理系trtvddddt d/d式中 为角速度随时间的变化率，叫做角加速度，用符号 22ddddtt2sr
15、adtteart d/dte表示，有 （2-9） 角加速度 的单位为 ，则切向加速度（2-10） 式(2-8)中的第二项 ，则表示 切向单位矢量随时间的变化。这一点从图2-10(a)中可以看出。设在时刻 t， 质点位于圆周上点 A， 其速度为 1v， 切向单位矢量为 t1e； 在时刻 tt质点位于点 B， 速度为 2v， 切向单位矢量为 t2e。 在时间间隔 t内，径矢 r景德镇高专物理系景德镇高专物理系转过的角度为 v1 tt2teee，速度增量为 1t2t1 ee1te0tte，切向单位矢量的增量则为 。 由于切向单位矢量的值为1，即 ，因而，从图(b)可以知道 。当 时， 亦趋于零，这时
16、 的方向 趋于与 t1e垂直，即趋于与 1v垂直，并且趋于指向圆心。如果，我们在沿径矢 而指向圆心的法线方向上取单位矢量即法向单位矢量 ne (如上图)，那么，在 0t时， t/te的极限值为 ntt0ddddlimeeetttt这样，式(2-8)中第二项可以写成ntddddeetvtv由于这个加速度的方向是垂直于切向的，故叫做法向加速度，用 na表示，有景德镇高专物理系景德镇高专物理系nnddeatvrvt ,d/drvrvr2nn2n2n,aeea考虑到 n2tntddeeaaarvtvn2teearrtana故上式为 （2-11b）（2-11a）由式(2-10)和式(2-11b)， 可将
17、质点作变速圆周运 动时的加速度的表达式(2-8)写成 （2-12a） 或 (2-12b)其中切向加速度 是由于速度数值的变化而引起 的，法向加速度 则是由于速度方向的变化而引起。景德镇高专物理系景德镇高专物理系atn212n2ttg,)(aaaaa在变速圆周运动中，由于速度的方向和大小都在变化，所以加速度 的方向 不再指向圆心(图2-11)，其值和方向为 上述结果虽然是从变速圆周运动中得出的，但对于一般的曲线运动，式(2-1)、(2-1)仍然适用。此时可以把一段足够小的曲线看成是一段圆弧。这样包含这段圆弧的圆周就被称为曲线在给定点的曲率圆，从而可用曲率半径 rA1Ahkm1940vB1Bhkm
18、2192vs3tABkm5 . 3来替代 圆的半径 。 例 如图所示，飞机在高空点 时的水平速率为 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 ，其速率为 所经历的时间为 。设圆弧 的半径约为 ，且飞机从 A到 B的俯冲过程可视为匀变 速率圆周运动。若不计重力加速度的影响，求：(1)飞机在点 B的加速度； (2)飞机由点 A到达点 B所经历的路程。 解：解： (1)由于飞机在 AB之间作匀变速率圆周运动，所以 tv d/d和角加速度 均为常量。切向加速度 ta的值为 景德镇高专物理系景德镇高专物理系tvaddtttvvtatavBA00ttd dd2tsm3 .23tvvaAB22Bnsm106rva22/1
19、2n2tsm109)(aaaB有 得点 的切向加速度为 而在点 B的法向加速度为 故飞机在点 B时的加速度的值为 而 a与 na之间夹角 为 ont4 .12arctgaa景德镇高专物理系景德镇高专物理系(2)在时间 tr2A21tt内，径矢 m172221212tA2AttvtrtrrSAA转过的角度为 其中 是飞机在点 的角速度。故在此时间内，飞机经过的路程为 景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.1.4 运动学的运动学的基基本问题本问题Basic problem motion运动学的问题一般分为两大类 :第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t) ,而求质点的速度和加速度,这类问题可以通
20、过矢径对时间的逐级微商得到 。 例 如图2-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速 v。当下端B离墙角距离为x (xl)时, B端水平速度和加速度多大?解解：建立如图所示的坐标系 设A端离地高度为y222lyx方程两边对t求导022dtdyydtdxx景德镇高专物理系景德镇高专物理系dtdyxydtdxvxyvxxl22加速度: v222xydx/dtxdy/dtdtxd 232vxl例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 v =2t 求：质点任意时刻的加速度 a？ 解解： RtRvan2242dtdvae2eRt4an2景德镇高专物理系景德镇高专物理系 第二类问题是已
21、知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。例 一质点沿圆周运动, 其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设 为质点在圆周上任意两点速度 1v与 2v之间的夹角。试证: evv12证： Rva2ndtdvatdtdvRv2dsdvvvdvRds 即 21vvs0vdvRds12lnvvRsevv12s/R =v2/v1 积分得 景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.1.5 运动的叠加运动的叠加Addition motion 运动叠加原理在日常生活和生产实践中，常可看到
22、一个物体同时参与两个或几个不同方向上运动的情形，大量实验事实表明，宏观物体任何一个方向的运动，都不因为其他方向的运动而受到影响，即各种方向的运动都具有独立性，这称为运动独立性原理。 实例：以抛体运动为例。抛体运动是平面曲线运动，物体在空中任意时刻速度， 分量为 cosvv0 xgtsinvv0y积分可得 0 xy0vxv0yv0vg图2-14 景德镇高专物理系景德镇高专物理系积分可得 tcosvx02021singttvy消去 t 得轨迹方程 2220 xcosv2gtgxy由y = 0得 射程 g2sinvx20m由 v y=0 gsinvt0有 0vtgv图2-15 景德镇高专物理系景德镇
23、高专物理系射高 g2sinvy220m矢量形式为 即 jivgt)sin(vcos)(v00 jivgt)sin(vcos)(v00 t gv0 2t0t21tdtgvv0 r 可见抛体运动可归结为初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的叠加 。 例 证明在猎人和猴子的演示中，不论子弹的 初速度如何总能击中猴子(不计空气阻力)。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系解解：00vggvvvvvv tt猴猴地地弹弹地地地地猴猴弹弹地地弹弹猴猴即子弹相对于猴子的速度为子弹的初速度， 只要一开始瞄准猴子总能击中。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.2 相对运动相对运动 Relatively m
24、otion 质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 )的例子是很多的.例如一个人站 在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。 2.2.1 相对位移相对位移 Relatively Displacemen
25、t 如图2-17 所示，先选定一个基本参考系S（地面 ），如果另一个参考系 （车）相对于基本K在运动，则称为运动参考系K。设一运动物体（球）P在某一时刻相对于参考系 K和K 的位置，可分别用位矢 和 表示；而运动 景德镇高专物理系景德镇高专物理系参考系K上的原点O在基本参考系K中的位矢为 ，它们之间有如下的关系，即 从上图可见： 球对车车对地球对地rrr（2-13）景德镇高专物理系景德镇高专物理系2.2.2相对速度相对速度 Relatively speed将2-13式对时间t求导，得 1. ： 物体在基本参考系K中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用 表示； 2. ： 物体在运动参考系K中观测
26、到的速度，称为物体的相对速度，用 表示； 3. ： 运动参考系自身相对于基本参考系K的速度，称为物体的牵连速度，用u表示。景德镇高专物理系景德镇高专物理系r r0rxyOK x z y Ou Kz图2-18vuv 景德镇高专物理系景德镇高专物理系ABBAvvv地地地地ABvvBv=-Av AvBvABAvBAvBAvBv景德镇高专物理系景德镇高专物理系m/s 543VVV222221 21VVV1v2vv图2 - 20 431 tg087.36121vvtg景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系景德镇高专物理系本章重点是掌握位矢、位移、速度、加速度等物理量， 并借助于直角坐标系和自然
27、坐标系计算各量。 本章难点是运动学中各物理量的矢量性和相对性， 以及将数学的微积分和矢量运算方法应用于物理学。kjirzyxkjirzyx1质点的位矢、位移在直角坐标系中质点的运动方程描述质点运动的空间位置与时间的关系式:kjir)()()()(tztytxt景德镇高专物理系景德镇高专物理系)(rrr或rS2 速度和加速度 直角坐标系中 kjirvtztytxtddddddddttdddd2rvakjia222222ddddddtztytx 或: 注意速度和速率的区别 ddtrv但一般情况下 trtddddr景德镇高专物理系景德镇高专物理系tevvnnttnteeaaaaa其中：切向加速度:
28、ttddeatv是量度速度量值的变化。 法向加速度: n2neav是量度速度方向的变化。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系20021ttgrrr （2）圆周运动 角速度 tdd 角加速度 22ddddtt 且有关系式 Rv 22ntddRRvaRtva景德镇高专物理系景德镇高专物理系伽利略速度变换式 uvv景德镇高专物理系景德镇高专物理系x0t0 xtv ta tx 景德镇高专物理系景德镇高专物理系)cos1(sintRytRx式中 ,R 为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度.景德镇高专物理系景德镇高专物理系0atbaaa00bt景德镇高专物理系景德镇高专物理系Oxy平面内运动，其运
29、动方程为jir)sm00. 2(m0 .19)sm00. 2(221tt求：（1）质点的轨迹方程；（2）在 s00. 11t到 s00. 22t时间内的平均速度； （） s00. 11t时的速度及切向和法向加速度。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系 -如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为 ,h滑轮到原船位置的绳长为 0l，试求：当人以匀速 v拉绳，船运动的速度 v为多少？ 景德镇高专物理系景德镇高专物理系2bxy 运动，它在 Ox轴上的分速度为一恒量，其值 为 1sm0 . 4xv，求质点位于 m0 . 2x处的速度和加速度。景德镇高专物理系景德镇高专物理
30、系m0 .25处以 1sm0 .20的初速率罚任意球，已知球门 高为 m44. 3。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出球？（足球可视为质点） 足景德镇高专物理系景德镇高专物理系O以同样的速率，沿着同一竖 直面内各个不同方向同时抛出几个物 体。试证：在任意时刻， 这几个物体总是散落在某个圆周上。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系2021bttvs运动， 0v、 bb都是常量。（1）求 t时刻的总加速度；（2） t为何值时总加速度在数值上等于 b？（3）当加速度 达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？景德镇高专物理系景德镇高专物理系m50. 0的飞轮
31、在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比。在 s0 . 2t时测得轮缘 一点速度值为 1sm0 . 4。求：（1）该轮在 s5 . 0 t的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度； （2）该点在s0 . 2内所转过的角度。 景德镇高专物理系景德镇高专物理系m10. 0的圆周上运动，其角位置为33)srad4(rad2t。（1）求在 s0 . 2t时质点的法向加速度和切向加速度。（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时， 值为多少？（3） t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？ 景德镇高专物理系景德镇高专物理系11sm0 .20v的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨
32、滴和垂线成 75角下降，求雨滴下落的速度 2v（设下降的雨滴作匀速运动）。景德镇高专物理系景德镇高专物理系1sm10. 1的速度划船前进，今欲横渡一宽为 m1000. 13水流速度为 1sm55. 0的大河。（1）他若要从出发点横渡该 河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向？ 到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短 的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方.景德镇高专物理系景德镇高专物理系O运动，在任意时刻 t，其位置为 2/,2gtyvtx，质点运动的轨迹 为抛物线。若另一观察者 O以速率 以速率 v沿 x轴正向相对 O运动，试问质点相对 O的轨迹和 加速度如何？
