课题学习最短路径问题八年级数学上册
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1、课题学习 最短路径问题 学习目标：学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想 学习重点：学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线两点之间，线 段最短段最短”问题问题 课件说明课件说明垂线段最短。垂线段最短。两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。LABABLC温故知新温故知新问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名
2、的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl探索新知探索新
3、知追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl探索新知探索新知（1）从）从A 地出发，到河边地出发，到河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说
4、明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） BAlC探索新知探索新知追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点
5、将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？ 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlA探索新知探索新知追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线
6、上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？ BlA探索新知探索新知探索新知探索新知追问追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC探索新知探索新知 小结：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点，即为所确定的位置.检测一检测一 要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水（如图），修在河边什么地方，可使所用水管最短？张村李庄一线一线+两点型两点型运用新知运用新知运用新知运用新知 如图，点P在AOB的内部，连接P
7、与射线OA,OB上的两点D,E组成一个三角形，使PDE的周长最小OBAP检测二检测二两线两线+一点型一点型运用新知运用新知 如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短.ab草地草地河河p检测二检测二两线两线+一点型（平行训练）一点型（平行训练）运用新知运用新知OABMN 如图，在直线OB,OA上分别找一点E,F使得四边形MEFN的周长最小。检测三检测三两线两线+两点型两点型运用新知运用新知检测三检测三两线两线+两点型（平行训练）两点型（平行训练） 如下图，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队
8、从A处出发，先到公路 上设卡检查，再到公路 上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们如何走才能使其总路程最短.1l2l.AB2l1l（1）本节课研究问题的基本过程是什么？）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？）轴对称在所研究问题中起什么作用？（3 3）本节课在解决问题过程中运用了哪些数学）本节课在解决问题过程中运用了哪些数学思想？思想？归纳小结归纳小结造桥选址问题造桥选址问题如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸
9、是平最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）行的直线，桥要与河垂直）BA思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造、如图假定任选位置造桥，连接和，从桥，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短那么怎样确定什么情况下最短呢？呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？么障碍呢？ 我们能否在不改变我们能否在不改变AM+MN+BN的前提的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？我们呢？思维火花思维火花各抒己见各抒己见1、把、把A平移到岸边平移到岸边.2、把、把B平
10、移到岸边平移到岸边.3、把桥平移到和、把桥平移到和A相连相连.4、把桥平移到和、把桥平移到和B相连相连.上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请不变吗？请检验检验.合作与交流合作与交流1、2两种方法改变了两种方法改变了.怎样调整呢？怎样调整呢？把把A或或B分别向下或上平移一个桥长分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢那么怎样确定桥的位置呢?问题解决问题解决BAA1MN如图，平移如图，平移A到到A1，使，使A1等于河宽，连接等于河宽，连接A1交交河岸于作桥，此时河岸于作桥，此时路径最路径最短短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可
