高数(二)第一章 矩阵11

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1、线线 性性 代代 数数二二.几种特殊矩阵几种特殊矩阵一一. 矩阵的矩阵的线性运算线性运算三三. 转置转置二二. 乘法乘法单价单价 (元元/箱箱)重量重量 (Kg/箱箱)数量数量(箱箱)南京南京 苏州苏州 常州常州啤酒啤酒( (瓶装瓶装) )2016200180190啤酒啤酒( (易拉罐易拉罐) )5020100120100干啤干啤3016150160140生啤生啤2516180150150 mn)mn)Amn= ( )mnA 111nE 4. 三角矩阵三角矩阵 a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 anna11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 anna11 a1n-1

2、 a1n a21 a2n-1 0 an1 0 0 0 0 a1n 0 a2n-1 a2n an1 a1n-1 ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为01 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 01 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 0 2 0 10 1 3 0 20 0 0 1 00 0 0 0 01 0 1 0 10 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 000 一一. 矩阵的矩阵的线性运算线性运

3、算m nr sCABnrm sC 200611,2 ,.1 若求， 11,21 121 11,21 1212 2006 200512112 123aaa 1 12233a ba ba b ABBA 不一定都有意义不一定都有意义 同型但不相等同型但不相等 AB: A左乘以左乘以B; B右乘以右乘以A 有意义但不同型有意义但不同型 123bbb 1 33 13 1123bbb 123aaa1 31 1a b2 1a b3 1a b3 312a b22a b32a b13a b23a b33a b3 44 24 23 4ABBA 101212003400 121010340030 只有只有AB=BA

4、时等式成立时等式成立. . ABOAO or BO 100000001100AB ABAC AO or BC A BCO =1212A 23fxxx 23fAAAE1212123121212E3E TTijAa jin ma 11121naaa21222naaa12mmmnaaa 1sTTTTijikkjkB ABA TjiijABAB 1sjkkika b 1skijkkb a =123240305A 0110B 证明：设证明：设A,B,C为为n阶方阵，并且阶方阵，并且,TTCABAA BB TTTCABAB TTCCCCAB,22CAB例例6. 证明任意一个证明任意一个n阶方阵都可以表示成

5、一个阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和对称矩阵与一个反对称矩阵之和.22TTCCCC三三. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算四四. 矩阵的矩阵的乘法乘法五五. 矩阵的矩阵的转置转置 1sikkjka b ABBA ABOAO or BO TTijAa jin ma 二二. 几种特殊几种特殊矩阵矩阵三角矩阵三角矩阵 GH1 2m设设A为为m l 矩阵矩阵, B为为l n 矩阵矩阵, 将它们分块如下将它们分块如下A =A11 A12 A1tA21 A22 A2t As1 As2 Ast,B =B11 B12 B1rB21 B22 B2r Bt1 Bt2 Btr,Ai1, Ai2, ,

6、Ait的列数分别与的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等的行数相等. (i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.)C11 C12 C1r C21 C22 C2r Cs1 Cs2 Csr, 其中其中Cij = AikBkj ,则则AB =k=1t 1 0 1 2 =.A1B11 +B21 = 3 4 1 2 1 0 2 1+ 2 4 1 3=, 1 0 0 1 2 4 1 3 1 1 1 1 设矩阵设矩阵A =A11 A12 A1rA21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT Asr

7、T.则则 AT =TT1 2mT1T 2TnTT二二. 分块矩阵的运算分块矩阵的运算线性运算线性运算转置转置乘法乘法三三.的应用的应用线性方程组的表示形式线性方程组的表示形式线性变换线性变换11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 1112111212222212,nnmmmnmnaaabxaaabxAbxaaabxAxb三三. 矩阵与矩阵与分块矩阵的应用分块矩阵的应用线性方程组的表示形式线性方程组的表示形式11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 三

8、三. 分块矩阵的应用分块矩阵的应用线性变换线性变换y=Ax从从x1, x2, xn到到y1, y2, ym的线性变换的线性变换恒等变换恒等变换y=Ex旋转变换旋转变换y=AxcossinsincosA 几何含义：将平面上任一点几何含义：将平面上任一点P(x1,x2) 旋转旋转 角得到点角得到点P(y1,y2)1ABBAABBA 记为记为A B.初等变换初等变换AB 11312253413191122A 1131 例例1.1.用初等行变换将用初等行变换将A化为化为行最简形矩阵行最简形矩阵 0 4 1 10 5 15 150 2 1 11131 0 4 1 10 1 3 30 2 1 11131

9、0 0 11 110 1 3 30 0 5 5 1131 0 0 1 10 1 3 30 0 0 0+ 0 0 1 10 1 0 00 0 0 01 0 0 4( )rm nE ( )rm nE ( )rm nE (3)4 5E rref是初等是初等行变换下行变换下的最简形的最简形初等变换下初等变换下的最简形的最简形nnEE iiAAe 11jinjinBAAAAAeAeAeAe 11TTjjTiiTmme Ae Ae Ae A ,AE i j Tiie A 1TTjTiTmeeAee ABBPA ABBAP 1jinA eeee ,E i j A ( )rm nE nnEE 初等变换初等变换

10、AB ABBPA ABBAP . 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB=BA=E. 则称则称A, 并称并称B为为A的的. 事实上事实上, 若若AB=BA=E, AC=CA=E,则则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1. . .可逆方阵的逆矩阵是唯一的可逆方阵的逆矩阵是唯一的. . 注注1. 逆矩阵只是定义在逆矩阵只是定义在n阶方阵阶方阵上的上的. 1 1 = . T 1 = 1 T. 1 = k 1 1. 1 = B 1 1. 1 E 1 1 1(E A)

11、 = 1( ) = 1 1 = 1 1 1 = G 1 B 1 1. 则则AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有A 1 =A1 1 0 0 0 A2 1 0 0 0 As 1.则则AA1, A2, , As都都可逆可逆. 且当且当A1, , As都可逆时都可逆时,有有A 1 = 0 0 As 1 0 As-1 1 0 A1 1 0 0.nnEE 1 = E(i(k)(E(i(k) 1 = E(i(1/k)E(i(k) 1 = . 初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆, 且且 1 = , () 1 = 1/, () 1= ). 的行最简形矩阵的行最简形矩